Nos exercícios abaixo, use a definição de limite para comprovar o resultado dado.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa provar, usando a definição de limite, que quando as variáveis e se aproximam de , a expressão tende a . Aqui, vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e algumas propriedades básicas de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para provar que o limite de uma função quando é igual a , precisamos mostrar que para todo , existe um tal que sempre que , então .
No nosso caso, , então queremos mostrar que sempre que .
Passo 3
Vamos analisar a expressão que precisamos controlar: .
Sabemos que a função seno tem uma propriedade importante:
Aplicando isso ao nosso caso, temos:
Passo 4
Usando essa desigualdade, podemos estimar o valor absoluto da nossa expressão:
| (x^2+y^2) cdot sin (1x y) | <= (x^2+y^2) cdot | sin (1x y) | <= x^2 + y^2
Isso nos diz que o valor absoluto da expressão original é no máximo igual a x^2 + y^2.
Passo 5
Agora, precisamos garantir que x^2 + y^2 < epsilon quando raizx^2 + y^2 < de.
Observe que:
x^2 + y^2 = (raizx^2 + y^2)^2
Então, se escolhermos de, teremos:
raizx^2 + y^2 < de
Passo 6
Com isso, mostramos que sempre que raizx^2 + y^2 < de, então: