Nos exercícios abaixo, use a definição de limite para comprovar o resultado dado.
lim (x, y) (0,0)(x^2+y^2) cdot sen 1x y=0

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa provar, usando a definição de limite, que quando as variáveis x e y se aproximam de 0, a expressão (x^2+y^2) cdot sin (1x y) tende a 0. Aqui, vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e algumas propriedades básicas de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para provar que o limite de uma função f(x, y) quando (x, y) (0,0) é igual a L, precisamos mostrar que para todo epsilon > 0, existe um de 0 tal que sempre que raizx^2 + y^2 < de, então |f(x, y) - L| < epsilon.
No nosso caso, L = 0, então queremos mostrar que |(x^2+y^2) cdot sin (1x y)| < epsilon sempre que raizx^2 + y^2 < de.

Passo 3

Vamos analisar a expressão que precisamos controlar: (x^2+y^2) cdot sin (1x y).
Sabemos que a função seno tem uma propriedade importante:
|sin(z)| <= 1 para todo z
Aplicando isso ao nosso caso, temos:
| sin (1x y) | <= 1

Passo 4

Usando essa desigualdade, podemos estimar o valor absoluto da nossa expressão:
| (x^2+y^2) cdot sin (1x y) | <= (x^2+y^2) cdot | sin (1x y) | <= x^2 + y^2
Isso nos diz que o valor absoluto da expressão original é no máximo igual a x^2 + y^2.

Passo 5

Agora, precisamos garantir que x^2 + y^2 < epsilon quando raizx^2 + y^2 < de.
Observe que:
x^2 + y^2 = (raizx^2 + y^2)^2
Então, se escolhermos de, teremos:
raizx^2 + y^2 < de

Passo 6

Com isso, mostramos que sempre que raizx^2 + y^2 < de, então:
| (x^2+y^2) cdot sin (1x y) | < epsilon
Isso cumpre a definição de limite, provando que:
lim (x, y) (0,0)(x^2+y^2) cdot sin (1x y) = 0

Resposta

0

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