Verifique se cada uma das equações a seguir é exata. E, caso afirmativo, resolva-a.
(2 x cos y-e^x) d x-x^2 sen y d y=0

Passo 1

A gente tem a equação diferencial (2xcos y - e^x),dx - x^2sin y,dy = 0. O conteúdo aqui é verificar exatidão e, se for exata, encontrar uma função potencial Psi(x,y) tal que dPsi = 0.

Passo 2

Identificamos M(x,y) = 2xcos y - e^x e N(x,y) = -x^2sin y. Para checar exatidão, a gente computa as derivadas parciais partial M/partial y e partial N/partial x.
Calculando as parciais:
partial Mpartial y = partialpartial y(2xcos y - e^x) = -2xsin y,
partial Npartial x = partialpartial x(-x^2sin y) = -2xsin y

Passo 3

Como partial M/partial y = partial N/partial x = -2xsin y, a equação é exata.

Passo 4

Agora, encontramos a função potencial Psi(x,y) satisfazendo partial Psi/partial x = M. Integramos em relação a x:
Psi(x,y) = integral(2xcos y - e^x),dx = x^2cos y - e^x + h(y),onde h(y) é função de y só. Para achar h(y), usamos partial Psi/partial y = N:
partial Psipartial y = partialpartial y(x^2cos y - e^x + h(y)) = -x^2sin y + h'(y),e igualamos a N = -x^2sin y, obtendo h'(y)=0. Logo, h(y)=C, constante.

Passo 5

Assim, a função potencial geral é
Psi(x,y) = x^2cos y - e^x + C,e a solução implícita da equação diferencial é Psi(x,y)=C.

Resposta

x^2cos y - e^x = C

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