Nos exercícios abaixo, use o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC).
Calcule o valor médio de
no intervalo
.
Calcule o valor médio de
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer. Temos que encontrar o valor médio da função $ h(x) = (x^{2} + \sqrt[3]{x})(x + 1) $ no intervalo de
. Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC), que conecta integrais com antiderivadas. Basicamente, vamos calcular a integral de $ h(x) $ de
a
e depois dividir pelo tamanho do intervalo para achar a média.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar o valor médio de uma função em um intervalo
. A fórmula é:
No nosso caso, $ a = -1 $ e $ b = 1 $. Então, precisamos calcular:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a função $ h(x) $:
Vamos multiplicar os termos:
Passo 4
Com a função simplificada, vamos integrar termo a termo:
Vamos encontrar a antiderivada de cada termo:
Então, a antiderivada completa é:
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral de
a
:
Vamos calcular em
:
E em
:
Aqui, percebemos que
e
são números reais, mas como estamos somando simétricos, certos termos vão se cancelar.
Passo 6
Calculando os valores:
Para
:
Para
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, voltamos à fórmula do valor médio:
Resposta
O valor médio de $ h(x) = (x^{2} + \sqrt[3]{x})(x + 1) $ no intervalo
é
.