Nos exercícios abaixo, use o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC).
Calcule o valor médio de h(x)=(x^2+raiz[3]x)(x+1) no intervalo [-1,1].

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer. Temos que encontrar o valor médio da função $ h(x) = (x^{2} + \sqrt[3]{x})(x + 1) $ no intervalo de h(x) = (x^2 + raiz[3]x)(x + 1) . Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC), que conecta integrais com antiderivadas. Basicamente, vamos calcular a integral de $ h(x) $ de [-1, 1] a h(x) e depois dividir pelo tamanho do intervalo para achar a média.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar o valor médio de uma função em um intervalo [a, b]. A fórmula é:
Valor Médio = 1b - a integrala^b h(x) , dx é
No nosso caso, $ a = -1 $ e $ b = 1 $. Então, precisamos calcular:
a = -1 é

Passo 3

Agora, vamos simplificar a função $ h(x) $:
h(x)
Vamos multiplicar os termos:
h(x) = (x^2 + raiz[3]x)(x + 1)

Passo 4

Com a função simplificada, vamos integrar termo a termo:
integral h(x) , dx = integral (x^3 + x^2 + x^4/3 + raiz[3]x) , dx
Vamos encontrar a antiderivada de cada termo:
integral x^3 , dx = x^44 integral x^2 , dx = x^33 integral x^4/3 , dx = 37 x^7/3 integral raiz[3]x , dx = 34 x^4/3
Então, a antiderivada completa é:
x^44 + x^33 + 37 x^7/3 + 34 x^4/3 + C

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral de -1 a 1:
integral-1^1 h(x) , dx = [ x^44 + x^33 + 37 x^7/3 + 34 x^4/3 ]-1^1
Vamos calcular em x = 1:
1^44 + 1^33 + 37 cdot 1^7/3 + 34 cdot 1^4/3 = 14 + 13 + 37 + 34
E em x = -1:
(-1)^44 + (-1)^33 + 37 cdot (-1)^7/3 + 34 cdot (-1)^4/3
Aqui, percebemos que (-1)^7/3 e (-1)^4/3 são números reais, mas como estamos somando simétricos, certos termos vão se cancelar.

Passo 6

Calculando os valores:
Para x = 1:
14 + 13 + 37 + 34 = 14 + 34 + 13 + 37 = 1 + 13 + 37 = 1 + 7 + 921 = 1 + 1621 = 3721
Para x = -1:
14 - 13 - 37 + 34 = 14 + 34 - 13 - 37 = 1 - 13 - 37 = 1 - 7 + 921 = 1 - 1621 = 521
Então, a integral fica:
3721 - 521 = 3221

Passo 7

Agora, voltamos à fórmula do valor médio:
Valor Médio = 12 cdot 3221 = 1621 é

Resposta

O valor médio de $ h(x) = (x^{2} + \sqrt[3]{x})(x + 1) $ no intervalo h(x) = (x^2 + raiz[3]x)(x + 1) é [-1, 1].

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