Nos exercícios abaixo, use o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC).
Determine g^prime(x), onde g(x)=integralx^2+cos x^8 ln (t^2+raizt) d t.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por uma integral e precisamos encontrar a sua derivada. O enunciado utiliza o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC), que liga derivadas e integrais. Vamos precisar saber como derivar funções definidas por integrais com limites variáveis.

Passo 2

A função que queremos derivar é:
g(x) = integralx^2 + cos x^8 ln (t^2 + raizt) dt
Aqui, o limite inferior da integral depende de $ x $ e o limite superior é uma constante (8).

Passo 3

Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos uma função definida por:
G(x) = integrala(x)^b(x) f(t) dt
A derivada de $ G(x) $ em relação a $ x $ é:
G(x)
No nosso caso, $ b(x) = 8 $, que é constante. Então, sua derivada $ b’(x) = 0 $.

Passo 4

Aplicando o teorema à nossa função $ g(x) $:
g(x)
Como o primeiro termo é multiplicado por zero, ele desaparece. Fica apenas:
g'(x) = ln (8^2 + raiz8) cdot 0 - ln ( (x^2 + cos x)^2 + raizx^2 + cos x ) cdot ddx(x^2 + cos x)

Passo 5

Agora, vamos derivar $ x^{2} + \cos x $ em relação a $ x $:
x^2 + cos x

Passo 6

Substituindo essa derivada na expressão de $ g’(x) $:
g'(x)

Resposta

A derivada de $ g(x) $ é:
g(x)

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