Nos exercícios abaixo, use o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC).
Determine
, onde
.
Determine
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por uma integral e precisamos encontrar a sua derivada. O enunciado utiliza o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC), que liga derivadas e integrais. Vamos precisar saber como derivar funções definidas por integrais com limites variáveis.
Passo 2
A função que queremos derivar é:
Aqui, o limite inferior da integral depende de $ x $ e o limite superior é uma constante (8).
Passo 3
Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos uma função definida por:
A derivada de $ G(x) $ em relação a $ x $ é:
No nosso caso, $ b(x) = 8 $, que é constante. Então, sua derivada $ b’(x) = 0 $.
Passo 4
Aplicando o teorema à nossa função $ g(x) $:
Como o primeiro termo é multiplicado por zero, ele desaparece. Fica apenas:
Passo 5
Agora, vamos derivar $ x^{2} + \cos x $ em relação a $ x $:
Passo 6
Substituindo essa derivada na expressão de $ g’(x) $:
Resposta
A derivada de $ g(x) $ é: