Nos exercícios abaixo, verifique a convergência ou divergências das integrais usando o critério de comparação ou o critério de comparação no limite.
integral1^+infty 1x^2+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria integral1^infty 1x^2+1,dx. Vamos usar o critério de comparação, apoiado no conceito de integral imprópria.

Passo 2

Para x>=1 vale x^2+1>= x^2, então
0<=1x^2+1<=1x^2

Passo 3

Sabemos que integral1^infty1x^2,dx converge porque é um p-integral com p=2>1. Pelo critério de comparação, como 0<=1x^2+1<=1x^2 e integral1^infty1/x^2,dx converge, concluímos que integral1^infty1/(x^2+1),dx também converge.

Passo 4

Para calcular o valor exato, usamos a primitiva arctan(x). Assim:
integral1^infty1x^2+1,dx =limbtoinftyl[arctan(x)r]1^b =pi2-pi4 =pi4

Resposta

A integral converge e tem valor tfracpi4.

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