Nos exercícios abaixo, verifique se a integral é convergente ou divergente.(Integrais Impróprias do tipo II)
integral1^3 x^2raizx^3-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a integral integral1^3 x^2raizx^3-1 , dx é convergente ou divergente. Isso envolve o estudo de integrais impróprias do tipo II, que geralmente têm problemas nos limites de integração, como pontos onde a função fica infinita. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre limites e substituições em integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. Olhando para o denominador raizx^3-1, percebemos que quando x = 1, x^3 - 1 = 0, o que faz com que o denominador seja zero e a função x^2raizx^3-1 tende ao infinito. Isso significa que há uma descontinuidade no ponto x = 1, tornando a integral imprópria no limite inferior.

Passo 3

Para lidar com essa descontinuidade, vamos reescrever a integral como um limite. Em vez de integrar diretamente de 1 a 3, consideramos:
lima to 1^+ integrala^3 x^2raizx^3-1 , dx
Isso nos permite analisar o comportamento da integral próximo a x = 1.

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral integral x^2raizx^3-1 , dx. Para facilitar, usamos uma substituição. Seja u = x^3 - 1. Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = 3x^2 Rightarrow dx = du3x^2
Substituindo na integral:
integral x^2raizu cdot du3x^2 = 13 integral 1raizu , du

Passo 5

Agora, a integral simplifica para:
13 integral u^-1/2 , du = 13 cdot 2u^1/2 + C = 23 raizu + C
Lembrando que u = x^3 - 1, então a primitiva é:
23 raizx^3 - 1 + C

Passo 6

Voltando aos limites de integração, avaliamos de a a 3:
[ 23 raizx^3 - 1 ]a^3 = 23 raiz3^3 - 1 - 23 raiza^3 - 1 = 23 raiz26 - 23 raiza^3 - 1

Passo 7

Agora, aplicamos o limite quando a se aproxima de 1 por valores maiores:
lima to 1^+ ( 23 raiz26 - 23 raiza^3 - 1 ) = 23 raiz26 - 23 cdot 0 = 23 raiz26

Resposta

A integral integral1^3 x^2raizx^3-1 , dx é convergente e seu valor é 23 raiz26.

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