Nos exercícios abaixo, verifique se a integral é convergente ou divergente.(Integrais Impróprias do tipo II)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a integral
é convergente ou divergente. Isso envolve o estudo de integrais impróprias do tipo II, que geralmente têm problemas nos limites de integração, como pontos onde a função fica infinita. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre limites e substituições em integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. Olhando para o denominador
, percebemos que quando
,
, o que faz com que o denominador seja zero e a função
tende ao infinito. Isso significa que há uma descontinuidade no ponto
, tornando a integral imprópria no limite inferior.
Passo 3
Para lidar com essa descontinuidade, vamos reescrever a integral como um limite. Em vez de integrar diretamente de 1 a 3, consideramos:
Isso nos permite analisar o comportamento da integral próximo a
.
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral
. Para facilitar, usamos uma substituição. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, a integral simplifica para:
Lembrando que
, então a primitiva é:
Passo 6
Voltando aos limites de integração, avaliamos de
a 3:
Passo 7
Agora, aplicamos o limite quando
se aproxima de 1 por valores maiores:
Resposta
A integral
é convergente e seu valor é
.