Nos exercícios abaixo, verifique a convergência ou divergências das integrais usando o critério de comparação ou o critério de comparação no limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a integral
converge ou diverge. Para isso, vamos usar o critério de comparação ou o critério de comparação no limite. Esses critérios ajudam a comparar a integral que a gente tem com uma integral que já sabemos se ela converge ou diverge, facilitando nossa vida.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com a função
quando
fica muito grande, ou seja, quando
. Para simplificar, observamos que, para valores grandes de
, o termo
domina o
na expressão
. Então, podemos aproximar:
Passo 3
Assim, a função original fica aproximadamente:
Agora, vamos comparar nossa integral com a integral de
, que sabemos como se comporta.
Passo 4
Sabemos que a integral
converge se
e diverge se
. No nosso caso,
, que é maior que 1. Então,
converge.
Passo 5
Agora, vamos formalizar isso usando o critério de comparação no limite. Calculamos o limite:
Como o limite é um número positivo finito (1), o comportamento das duas integrais é o mesmo. Já que sabemos que a integral de
converge, então a nossa integral original também converge.
Resposta
A integral
converge.