Nos exercícios abaixo, verifique a convergência ou divergências das integrais usando o critério de comparação ou o critério de comparação no limite.
integral2^+infty 1raizx^3+x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a integral integral2^+infty 1raizx^3+x , dx converge ou diverge. Para isso, vamos usar o critério de comparação ou o critério de comparação no limite. Esses critérios ajudam a comparar a integral que a gente tem com uma integral que já sabemos se ela converge ou diverge, facilitando nossa vida.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com a função 1raizx^3+x quando x fica muito grande, ou seja, quando x to +infty. Para simplificar, observamos que, para valores grandes de x, o termo x^3 domina o x na expressão x^3 + x. Então, podemos aproximar:
raizx^3 + x approx raizx^3 = x^32

Passo 3

Assim, a função original fica aproximadamente:
1raizx^3 + x approx 1x^32
Agora, vamos comparar nossa integral com a integral de 1x^32, que sabemos como se comporta.

Passo 4

Sabemos que a integral integral2^+infty 1x^p , dx converge se p > 1 e diverge se p <= 1. No nosso caso, p = 32, que é maior que 1. Então, integral2^+infty 1x^32 , dx converge.

Passo 5

Agora, vamos formalizar isso usando o critério de comparação no limite. Calculamos o limite:
limx to +infty 1raizx^3+x1x^32 = limx to +infty x^32raizx^3+x = limx to +infty x^32x^32 raiz1+1x^2 = limx to +infty 1raiz1+1x^2 = 1
Como o limite é um número positivo finito (1), o comportamento das duas integrais é o mesmo. Já que sabemos que a integral de 1x^32 converge, então a nossa integral original também converge.

Resposta

A integral integral2^+infty 1raizx^3+x , dx converge.

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