Nos exercícios abaixo, verifique a convergência ou divergências das integrais usando o critério de comparação ou o critério de comparação no limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a integral
converge ou diverge. Para isso, vamos usar os critérios de comparação ou de comparação no limite. Basicamente, vamos comparar a função que está dentro da integral com outra função cuja integral a gente já sabe se ela converge ou diverge. Vamos precisar entender um pouquinho sobre integrais impróprias e como comparar funções para determinar a convergência.
Passo 2
Primeiro, é importante saber que a integral dada é uma integral imprópria porque o limite de integração vai até
. Para analisar a convergência dessa integral, podemos dividir o intervalo de integração em duas partes: de 0 a 1 e de 1 a
. Assim, temos:
Vamos analisar cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 3
Primeira parte:
Nessa parte,
está entre 0 e 1. O que você observa aqui é que
é uma função contínua e positiva nesse intervalo, e
também está entre 1 e 2. Então,
é limitada e não apresenta comportamentos problemáticos (como divisão por zero ou crescimento infinito). Portanto, a integral de 0 a 1 dessa função certamente converge.
Segunda parte:
Aqui, o interesse é no comportamento da função quando
vai para
. Para determinar se essa parte da integral converge, vamos comparar
com uma função mais simples cujo comportamento já conhecemos.
Perceba que para
,
. Então:
Agora, vamos considerar a integral
. Sabemos que
decai exponencialmente, e a divisão por
ainda mantém o decaimento. De fato, a integral
converge (ela é igual a
), então nossa função
também vai convergir.
Como
é menor ou igual a
e a integral de
converge, pelo Critério de Comparação, a integral
também converge.
Resposta
A integral
converge.