Nos exercícios abaixo, verifique a convergência ou divergências das integrais usando o critério de comparação ou o critério de comparação no limite.
integral0^+infty e^-xx+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a integral integral0^+infty e^-xx+1 , dx converge ou diverge. Para isso, vamos usar os critérios de comparação ou de comparação no limite. Basicamente, vamos comparar a função que está dentro da integral com outra função cuja integral a gente já sabe se ela converge ou diverge. Vamos precisar entender um pouquinho sobre integrais impróprias e como comparar funções para determinar a convergência.

Passo 2

Primeiro, é importante saber que a integral dada é uma integral imprópria porque o limite de integração vai até +infty. Para analisar a convergência dessa integral, podemos dividir o intervalo de integração em duas partes: de 0 a 1 e de 1 a +infty. Assim, temos:
integral0^+infty e^-xx+1 , dx = integral0^1 e^-xx+1 , dx + integral1^+infty e^-xx+1 , dx
Vamos analisar cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 3

Primeira parte: integral0^1 e^-xx+1 , dx
Nessa parte, x está entre 0 e 1. O que você observa aqui é que e^-x é uma função contínua e positiva nesse intervalo, e x+1 também está entre 1 e 2. Então, e^-xx+1 é limitada e não apresenta comportamentos problemáticos (como divisão por zero ou crescimento infinito). Portanto, a integral de 0 a 1 dessa função certamente converge.
Segunda parte: integral1^+infty e^-xx+1 , dx
Aqui, o interesse é no comportamento da função quando x vai para +infty. Para determinar se essa parte da integral converge, vamos comparar e^-xx+1 com uma função mais simples cujo comportamento já conhecemos.
Perceba que para x >= 1, x + 1 >= x. Então:
e^-xx+1 <= e^-xx
Agora, vamos considerar a integral integral1^+infty e^-xx , dx. Sabemos que e^-x decai exponencialmente, e a divisão por x ainda mantém o decaimento. De fato, a integral integral1^+infty e^-x , dx converge (ela é igual a e^-1), então nossa função e^-xx também vai convergir.
Como e^-xx+1 é menor ou igual a e^-xx e a integral de e^-xx converge, pelo Critério de Comparação, a integral integral1^+infty e^-xx+1 , dx também converge.

Resposta

A integral integral0^+infty e^-xx+1 , dx converge.

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