Nos exercícios abaixo, verifique a convergência ou divergências das integrais usando o critério de comparação ou o critério de comparação no limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou a integral e quer saber se ela converge ou diverge usando o critério de comparação ou o critério de comparação no limite. Então, hoje vamos trabalhar com integrais impróprias e critérios de comparação para determinar o comportamento dessa integral. Vamos precisar entender como comparar funções e aplicar esses critérios direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que estamos lidando com uma integral imprópria porque o limite superior é . Para saber se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge (vai para infinito ou não existe), podemos usar o critério de comparação.
Passo 3
O critério de comparação nos permite comparar a função que estamos integrando com outra função cuja convergência ou divergência já conhecemos. Se para todo no intervalo e sabemos que converge, então também converge. Se diverge, e , então também diverge.
Passo 4
Vamos aplicar isso à nossa integral. Temos . Sabemos que para todo . Portanto:
Passo 5
Agora, vamos comparar com a função g(x) = 1x. Sabemos que a integral integral1^+infty 1x dx é uma integral p com p = 1, e sabemos que essa integral diverge porque quando p <= 1, integral1^+infty 1x^p dx diverge.
Passo 6
Como | cos 2xx | <= 1x e integral1^+infty 1x dx diverge, o critério de comparação nos diz que não podemos concluir diretamente se integral1^+infty cos 2xx dx converge ou diverge apenas com essa comparação.
Passo 7
Quando o critério de comparação direto não é conclusivo, podemos tentar o critério de comparação no limite. Calculamos o limite de f(x)g(x) quando x tende ao infinito:
limx to +infty cos 2xx1x = limx to +infty cos 2x
Passo 8
No entanto, cos 2x oscila continuamente entre -1 e 1 à medida que x tende ao infinito, então esse limite não existe.
Passo 9
Como o limite não existe, o critério de comparação no limite também não nos dá uma resposta definitiva. Nesse caso, precisamos considerar outras abordagens.
Passo 10
Sabemos que a integral integral1^+infty cos 2xx dx é uma integral de uma função que oscila e cuja amplitude diminui conforme x aumenta. Esse tipo de integral pode convergir condicionalmente devido às oscilações que “cancelam” partes positivas e negativas.
Resposta
A integral integral1^+infty cos 2xx dxconverge condicionalmente.