Nos exercícios abaixo, verifique a convergência ou divergências das integrais usando o critério de comparação ou o critério de comparação no limite.
integral1^+infty cos 2 xx d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou a integral integral1^+infty cos 2xx dx e quer saber se ela converge ou diverge usando o critério de comparação ou o critério de comparação no limite. Então, hoje vamos trabalhar com integrais impróprias e critérios de comparação para determinar o comportamento dessa integral. Vamos precisar entender como comparar funções e aplicar esses critérios direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que estamos lidando com uma integral imprópria porque o limite superior é +infty. Para saber se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge (vai para infinito ou não existe), podemos usar o critério de comparação.

Passo 3

O critério de comparação nos permite comparar a função que estamos integrando com outra função cuja convergência ou divergência já conhecemos. Se |f(x)| <= g(x) para todo x no intervalo e sabemos que integral g(x) dx converge, então integral f(x) dx também converge. Se integral g(x) dx diverge, e f(x) >= g(x), então integral f(x) dx também diverge.

Passo 4

Vamos aplicar isso à nossa integral. Temos f(x) = cos 2xx. Sabemos que |cos 2x| <= 1 para todo x. Portanto:
| cos 2xx | <= 1x

Passo 5

Agora, vamos comparar com a função g(x) = 1x. Sabemos que a integral integral1^+infty 1x dx é uma integral p com p = 1, e sabemos que essa integral diverge porque quando p <= 1, integral1^+infty 1x^p dx diverge.

Passo 6

Como | cos 2xx | <= 1x e integral1^+infty 1x dx diverge, o critério de comparação nos diz que não podemos concluir diretamente se integral1^+infty cos 2xx dx converge ou diverge apenas com essa comparação.

Passo 7

Quando o critério de comparação direto não é conclusivo, podemos tentar o critério de comparação no limite. Calculamos o limite de f(x)g(x) quando x tende ao infinito:
limx to +infty cos 2xx1x = limx to +infty cos 2x

Passo 8

No entanto, cos 2x oscila continuamente entre -1 e 1 à medida que x tende ao infinito, então esse limite não existe.

Passo 9

Como o limite não existe, o critério de comparação no limite também não nos dá uma resposta definitiva. Nesse caso, precisamos considerar outras abordagens.

Passo 10

Sabemos que a integral integral1^+infty cos 2xx dx é uma integral de uma função que oscila e cuja amplitude diminui conforme x aumenta. Esse tipo de integral pode convergir condicionalmente devido às oscilações que “cancelam” partes positivas e negativas.

Resposta

A integral integral1^+infty cos 2xx dx converge condicionalmente.

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