Nos exercícios abaixo, verifique se a integral é convergente ou divergente.(Integrais Impróprias do tipo II)
integral0^1 1x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a integral integral0^1 1x , dx é convergente ou divergente. Isso envolve o estudo de integrais impróprias do tipo II, onde a função tem um ponto problemático no intervalo de integração, nesse caso, quando x se aproxima de 0. Vamos precisar entender o que é uma integral imprópria e como analisar seu comportamento próximo aos pontos problemáticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral imprópria. É uma integral que não está bem definida de forma direta porque a função que estamos integrando tem um comportamento “estranho” em algum ponto do intervalo, como uma assíntota vertical. No nosso caso, a função 1x tem uma assíntota vertical em x = 0, porque conforme x se aproxima de 0, 1x cresce sem limite.

Passo 3

Para determinar se a integral é convergente ou divergente, usamos o conceito de limite. Isso significa que vamos substituir o ponto problemático por um valor que se aproxima dele e ver o que acontece com a integral. No nosso caso, vamos reescrever a integral como um limite quando a se aproxima de 0 pela direita:
integral0^1 1x , dx = lima to 0^+ integrala^1 1x , dx

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral definida de 1x de a até 1. A antiderivada de 1x é ln|x|. Então:
integrala^1 1x , dx = ln|x| |a^1 = ln(1) - ln(a)
Sabemos que ln(1) = 0, então fica:
0 - ln(a) = -ln(a)

Passo 5

Agora, vamos avaliar o limite quando a se aproxima de 0 pela direita:
lima to 0^+ -ln(a)
Quando a se aproxima de 0, ln(a) tende a -infty, então -ln(a) tende a +infty. Isso significa que a integral cresce sem limite à medida que nos aproximamos de 0.

Resposta

A integral integral0^1 1x , dx é divergente, pois o seu valor tende ao infinito.

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