Nos exercícios abaixo, verifique se a integral é convergente ou divergente.(Integrais Impróprias do tipo II)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a integral é convergente ou divergente. Isso envolve o estudo de integrais impróprias do tipo II, onde a função tem um ponto problemático no intervalo de integração, nesse caso, quando se aproxima de 0. Vamos precisar entender o que é uma integral imprópria e como analisar seu comportamento próximo aos pontos problemáticos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral imprópria. É uma integral que não está bem definida de forma direta porque a função que estamos integrando tem um comportamento “estranho” em algum ponto do intervalo, como uma assíntota vertical. No nosso caso, a função tem uma assíntota vertical em , porque conforme se aproxima de 0, cresce sem limite.
Passo 3
Para determinar se a integral é convergente ou divergente, usamos o conceito de limite. Isso significa que vamos substituir o ponto problemático por um valor que se aproxima dele e ver o que acontece com a integral. No nosso caso, vamos reescrever a integral como um limite quando se aproxima de 0 pela direita:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral definida de de até 1. A antiderivada de é . Então:
Sabemos que ln(1) = 0, então fica:
0 - ln(a) = -ln(a)
Passo 5
Agora, vamos avaliar o limite quando a se aproxima de 0 pela direita:
lima to 0^+ -ln(a)
Quando a se aproxima de 0, ln(a) tende a -infty, então -ln(a) tende a +infty. Isso significa que a integral cresce sem limite à medida que nos aproximamos de 0.
Resposta
A integral integral0^1 1x , dxé divergente, pois o seu valor tende ao infinito.