EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
A pressão atmosférica nas proximidades do solo em uma certa região é dada por
p(x, y)=a \cdot x^{2}+b \cdot y^{2}+c
com a, b e c constantes positivas. Descreva as isobáricas (curvas de nível de p ) para pressões superiores a c.

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
p(x,y)=a\,x^{2}+b\,y^{2}+c
com a,b,c>0, e pede as curvas de nível (isobáricas) para pressões superiores a c. O conteúdo aqui é “curvas de nível de uma função de duas variáveis”.

Passo 2

Para representar uma isobárica, fixamos um valor p_{0} com p_{0}>c e impomos
p(x,y)=p_{0}.
Substituindo, temos
a\,x^{2}+b\,y^{2}+c = p_{0} \quad\Longrightarrow\quad a\,x^{2}+b\,y^{2} = p_{0}-c.

Passo 3

Como p_{0}-c>0, dividimos ambos os lados por p_{0}-c e obtemos a forma padrão de elipse:
\frac{x^{2}}{\tfrac{p_{0}-c}{a}} \;+\;\frac{y^{2}}{\tfrac{p_{0}-c}{b}} = 1.
Logo, cada isobárica p(x,y)=p_{0} é uma elipse centrada na origem, com semi-eixo em x de comprimento \sqrt{\tfrac{p_{0}-c}{a}} e semi-eixo em y de comprimento \sqrt{\tfrac{p_{0}-c}{b}}.

Resposta

As isobáricas para p_{0}>c são elipses centradas na origem, dadas por
\frac{x^{2}}{\tfrac{p_{0}-c}{a}} + \frac{y^{2}}{\tfrac{p_{0}-c}{b}} = 1,
com semi-eixos \sqrt{\tfrac{p_{0}-c}{a}} e \sqrt{\tfrac{p_{0}-c}{b}}.

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