Nos exercícios de (1) a (4), aplique o Teste da Razão para determinar se as séries convergem, divergem ou se o método não fornece informação conclusiva.
sumk=1^infty 2^k+1k 3^k-1,

Passo 1

Temos a série sumk=1^infty 2^k+1k,3^k-1. O conteúdo aqui é o Teste da Razão, que vai nos dizer se a série converge, diverge ou é inconclusivo, comparando o limite L=limktoinfty|ak+1/ak|.

Passo 2

Chamamos de ak o termo geral da série, isto é, ak=2^k+1k,3^k-1. No Teste da Razão, calculamos o quociente |ak+1/ak| e estudamos seu limite quando ktoinfty.
Vamos calcular o quociente:
ak+1ak= 2^(k+1)+1(k+1)3^(k+1)-12^k+1k,3^k-1 =2^k+2(k+1)3^kcdotk,3^k-12^k+1
Agora simplificamos potências e fatores:
ak+1ak= 2^k+2-k-1,k3^k-k+1,(k+1) =2,k3,(k+1) =23cdotkk+1

Passo 3

Tomamos o limite quando ktoinfty:
L=limktoinfty23cdotkk+1 =23cdot1 =23
Como L=2/3<1, pelo Teste da Razão a série converge absolutamente, e portanto converge.

Passo 4

Concluímos, pelo critério L<1, que a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Razão, pois o limite da razão é 2/3<1.

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