Determine o volume dos sólidos S, usando integração.
Ache o volume comum a duas esferas de raio r se o centro de cada esfera está na superfície
da outra.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região comum a duas esferas de raio r cujos centros estão separados por r. Esse é um problema de integração multivariada, em que vamos usar o método das fatias (slices) ao longo do eixo que une os centros.

Passo 2

Para facilitar, alinhamos as esferas ao longo do eixo x, colocando a primeira no centro (0,0,0) e a segunda em (r,0,0). As equações são: x^2+y^2+z^2<= r^2 e (x-r)^2+y^2+z^2<= r^2. O volume comum é a interseção dessas duas regiões.

Passo 3

Para cada x fixo, o corte transversal em um plano perpendicular ao eixo x é a região em (y,z) que satisfaz simultaneamente y^2+z^2<= r^2 - x^2 e y^2+z^2<= r^2 - (x-r)^2. Isso define um disco de raio minl(raizr^2 - x^2,,raizr^2 - (x-r)^2r). A área desse disco é A(x)=pi,minl(r^2 - x^2,,r^2 - (x-r)^2r).

Passo 4

Identificamos o ponto x0 onde as duas expressões internas ao mínimo são iguais: r^2 - x^2 = r^2 - (x-r)^2. Resolvendo, obtemos x0 = tfrac r2. Logo, para 0<= x<= r/2 vale r^2 - (x-r)^2<= r^2 - x^2, e para r/2<= x<= r vale o contrário.

Passo 5

O volume total é
V=integral0^r A(x),dx = 2integral0^r/2pil(r^2 - (x-r)^2r)dx,
usando a simetria em torno de x=r/2. Simplificando, r^2 - (x-r)^2 = 2r x - x^2, então montamos a integral.

Passo 6

Calculamos a integral:
V = 2pi integral0^r/2 (2r x - x^2) dx = 2pi l[r x^2 - x^33r]0^r/2 = 2pi l( r^34 - r^324 r) = 2pi cdot 5r^324 = 5pi r^312

Resposta

V = 5pi r^312

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