Determine o volume dos sólidos
, usando integração.
Ache o volume comum a duas esferas de raio
se o centro de cada esfera está na superfície
da outra.
Ache o volume comum a duas esferas de raio
da outra.
Passo 1
O enunciado pede o volume da região comum a duas esferas de raio
cujos centros estão separados por
. Esse é um problema de integração multivariada, em que vamos usar o método das fatias (slices) ao longo do eixo que une os centros.
Passo 2
Para facilitar, alinhamos as esferas ao longo do eixo
, colocando a primeira no centro
e a segunda em
. As equações são:
e
. O volume comum é a interseção dessas duas regiões.
Passo 3
Para cada
fixo, o corte transversal em um plano perpendicular ao eixo
é a região em
que satisfaz simultaneamente
e
. Isso define um disco de raio
. A área desse disco é
.
Passo 4
Identificamos o ponto
onde as duas expressões internas ao mínimo são iguais:
. Resolvendo, obtemos
. Logo, para
vale
, e para
vale o contrário.
Passo 5
O volume total é
usando a simetria em torno de
. Simplificando,
, então montamos a integral.
Passo 6
Calculamos a integral: