Em todos os itens abaixo K in R é uma constante de integração.
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(d) integral raizx-1(x+3) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral raizx-1,(x+3),dx. O conteúdo envolvido é integrais por substituição, e vamos precisar identificar uma mudança de variável que simplifique a raiz.

Passo 2

Fazemos a substituição t = raizx-1. Então x-1 = t^2, logo x = t^2 + 1. Calculamos dx = 2t,dt.

Passo 3

Reescrevendo a integranda em função de t: temos raizx-1 = t e x+3 = t^2 + 4. Além disso, dx = 2t,dt. Assim
raizx-1,(x+3),dx = t,(t^2+4)cdot2t,dt = 2l(t^4 + 4t^2r),dt
Agora integramos o polinômio em t:
integral 2l(t^4 + 4t^2r),dt = 2integral t^4,dt + 8integral t^2,dt = 2cdott^55 + 8cdott^33 + K = 25t^5 + 83t^3 + K
Voltando à variável x, lembrando que t = raizx-1, obtemos a antiderivada em função de x.

Resposta

25(x-1)^5/2 + 83(x-1)^3/2 + K

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