Nos exercícios 1 e 2 , calcule d zd t de dois modos:
(a) usando a regra da cadeia; b) determinando a função composta z(t) e derivando em relação a t.
z=y e^x+x e^y, x=cos t, y=sen t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada de $ z $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{dz}{dt} $. Vamos fazer isso de duas maneiras:
(a) usando a regra da cadeia;
(b) encontrando a função composta $ z(t) $ e derivando direto em relação a $ t $.
A função que temos é:
z
Para resolver, vamos precisar saber sobre derivadas e, especificamente, aplicar a regra da cadeia e a de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer pelo método (a), usando a regra da cadeia. A regra da cadeia é usada quando você tem uma função composta, ou seja, uma função dentro da outra. Aqui, $ z $ depende de $ x $ e $ y $, que por sua vez dependem de $ t $.
Então, a derivada de $ z $ em relação a $ t $ será:
z
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $:
z
x

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $:
x
y

Passo 5

Substituindo todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
dzdt = ( y e^x + e^y ) cdot (-sin t) + ( e^x + x e^y ) cdot cos t
Agora, precisamos substituir $ x = \cos t $ e $ y = \sin t $ nessas expressões.

Passo 6

Substituindo $ x = \cos t $ e $ y = \sin t $:
x = cos t

Passo 7

Agora, vamos simplificar um pouco essa expressão:
dzdt = -sin t cdot sin t cdot e^cos t - sin t cdot e^sin t + e^cos t cdot cos t + cos t cdot cos t cdot e^sin t
Podemos escrever isso como:
dzdt = -sin^2 t cdot e^cos t - sin t cdot e^sin t + cos t cdot e^cos t + cos^2 t cdot e^sin t

Passo 8

Pronto, essa foi a derivada usando a regra da cadeia. Agora, vamos fazer pelo método (b), encontrando a função composta $ z(t) $ e derivando diretamente.

Passo 9

Primeiro, vamos substituir $ x = \cos t $ e $ y = \sin t $ na expressão de $ z $:
x = cos t

Passo 10

Agora, vamos derivar $ z(t) $ em relação a $ t $:
z(t)

Passo 11

Aplicando a regra do produto em cada termo:
Para o primeiro termo:
ddt ( sin t cdot e^cos t ) = cos t cdot e^cos t + sin t cdot e^cos t cdot (-sin t)
Simplificando:
= cos t cdot e^cos t - sin^2 t cdot e^cos t
Para o segundo termo:
ddt ( cos t cdot e^sin t ) = -sin t cdot e^sin t + cos t cdot e^sin t cdot cos t
Simplificando:
= -sin t cdot e^sin t + cos^2 t cdot e^sin t

Passo 12

Juntando os dois resultados:
dzdt = ( cos t cdot e^cos t - sin^2 t cdot e^cos t ) + ( -sin t cdot e^sin t + cos^2 t cdot e^sin t )
O que é exatamente a mesma expressão que obtivemos pelo método da regra da cadeia.

Resposta

Portanto, a derivada de $ z $ em relação a $ t $ é:
z

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