Nos exercícios 1 e 2 , calcule
de dois modos:
(a) usando a regra da cadeia; b) determinando a função composta
e derivando em relação a t.
.
(a) usando a regra da cadeia; b) determinando a função composta
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada de $ z $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{dz}{dt} $. Vamos fazer isso de duas maneiras:
(a) usando a regra da cadeia;
(b) encontrando a função composta $ z(t) $ e derivando direto em relação a $ t $.
(a) usando a regra da cadeia;
(b) encontrando a função composta $ z(t) $ e derivando direto em relação a $ t $.
A função que temos é:
Para resolver, vamos precisar saber sobre derivadas e, especificamente, aplicar a regra da cadeia e a de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer pelo método (a), usando a regra da cadeia. A regra da cadeia é usada quando você tem uma função composta, ou seja, uma função dentro da outra. Aqui, $ z $ depende de $ x $ e $ y $, que por sua vez dependem de $ t $.
Então, a derivada de $ z $ em relação a $ t $ será:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $:
Passo 5
Substituindo todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
Agora, precisamos substituir $ x = \cos t $ e $ y = \sin t $ nessas expressões.
Passo 6
Substituindo $ x = \cos t $ e $ y = \sin t $:
Passo 7
Agora, vamos simplificar um pouco essa expressão:
Podemos escrever isso como:
Passo 8
Pronto, essa foi a derivada usando a regra da cadeia. Agora, vamos fazer pelo método (b), encontrando a função composta $ z(t) $ e derivando diretamente.
Passo 9
Primeiro, vamos substituir $ x = \cos t $ e $ y = \sin t $ na expressão de $ z $:
Passo 10
Agora, vamos derivar $ z(t) $ em relação a $ t $:
Passo 11
Aplicando a regra do produto em cada termo:
Para o primeiro termo:
Simplificando:
Para o segundo termo:
Simplificando:
Passo 12
Juntando os dois resultados:
O que é exatamente a mesma expressão que obtivemos pelo método da regra da cadeia.
Resposta
Portanto, a derivada de $ z $ em relação a $ t $ é: