Resolver o problema com condição de contorno de Dirichlet:
& ut t-9 ux x=0, (x, t) in R+ times R+ & u(x, 0)=0, ut(x, 0)=0 & u(0, t)=e^-t^2

Passo 1

A questão é uma equação da onda unidimensional \ut t - 9 u x x = 0\ em x>0, t>0, com condições iniciais u(x,0)=0 e u t(x,0)=0 (repouso) e condição de contorno de Dirichlet u(0,t)=e{-t2}. Vamos usar transformada de Laplace em t para resolver.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em t: \U(x,s)=\mathcal{L}{u(x,t)}. Como u(x,0)=0 e u t(x,0)=0, a transformada da PDE \u_{tt}-9u_{xx}=0\ dá \s^2 U(x,s) - 9 U_{xx}(x,s)=0\.
Isso é uma EDO em x: \U_{xx} - \frac{s^2}{9} U = 0\. A solução geral é \U(x,s)=A(s) e^{(s/3)x} + B(s)e^{-(s/3)x}\.

Passo 3

Como queremos u(x,t) limitada quando x\to+\infty, devemos anular a parte exponencial crescente. Logo A(s)=0 e \U(x,s)=B(s)e^{-(s/3)x}\.
Impondo o contorno u(0,t)=e{-t2} temos \U(0,s)=B(s)=\mathcal{L}{e{-t2}}(s).\ Então \U(x,s)=\mathcal{L}{e{-t2}}(s)\ e^{-\tfrac{s}{3}x}.

Passo 4

Para inverter a transformada usamos que \\mathcal{L}{-1}{F(s)e{-as}}(t) = f(t-a)H(t-a)\, onde H é a Heaviside. Como \F(s)=\mathcal{L}{e{-t2}}(s)\ e a= x/3, a inversão dá
u(x,t)=e^-(t-tfracx3)^2,Hl(t-tfracx3r)

Passo 5

Isso satisfaz u(x,0)=0, u_t(x,0)=0 (pois para t< x/3 a função é zero) e em x=0 devolve u(0,t)=e{-t2}. Ademais cumpre a PDE ut t -9 u x x =0.
Portanto a solução final é uma onda que parte de x=0 e se propaga para x>0 sem reflexão.

Resposta

u(x,t)= 0,&t=tfracx3

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