Seja
u0(x)=lll 1, & se & x in[-1,1] 0, & se & x notin[-1,1]
Definir regâo de influência do intervalo [0,1] no seguinte problema de Cauchy para a equação de onda:
& ut t-16 ux x=0, (x, t) in R+^2 & u(x, 0)=u0(x), ut(x, 0)=0
(a) Usando as caraterísticas, achar valor u(1,0.125).

Passo 1

Então, temos um problema que envolve a equação da onda, que descreve como ondas se propagam em um meio. A gente precisa descobrir a região de influência do intervalo e, especificamente, calcular o valor de usando as características. Para isso, vamos precisar entender como as ondas se movem e como aplicar o método das características para resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação da onda dada:
utt - 16 uxx = 0
Aqui, representa a segunda derivada de em relação ao tempo , e é a segunda derivada em relação ao espaço . O número 16 está relacionado à velocidade com que a onda se propaga.

Passo 3

As condições iniciais do problema são:
u(x, 0) = u0(x) = 1, & se x in [-1, 1] 0, & se x notin [-1, 1]
ut(x, 0) = 0
Isso significa que, no instante inicial , a onda tem um valor de 1 no intervalo e 0 fora desse intervalo, e não está mudando com o tempo inicialmente.

Passo 4

Para resolver a equação da onda usando as características, precisamos identificar as direções em que as informações da onda se propagam. A solução geral da equação da onda pode ser escrita como a soma de duas funções que se movem nas direções positiva e negativa:
u(x, t) = f(x - vt) + g(x + vt)
Onde é a velocidade da onda. No nosso caso, .

Passo 5

Aplicando as condições iniciais, temos:
Da segunda condição, vemos que , o que implica . Considerando simetria e condições de contorno, concluímos que .

Passo 6

Então, a solução se simplifica para:
u(x, t) = f(x - 4t) + f(x + 4t)
Precisamos encontrar a função f(x) = u0(x)2 que satisfaça , ou seja:

Passo 7

Substituindo u(x, t) = u0(x - 4t) + u0(x + 4t)2 na solução, temos:
u(1, 0.125) = u0(1 - 4 times 0.125) + u0(1 + 4 times 0.125)2
Agora, para calcular 1 - 4 times 0.125 = 1 - 0.5 = 0.5 , vamos substituir 1 + 4 times 0.125 = 1 + 0.5 = 1.5 e :
Calculando os argumentos:

Passo 8

Agora, avaliamos nos pontos e :
  • Para : Como , .
  • Para : Como , .

Passo 9

Substituindo esses valores na expressão de u(1, 0.125) = 1 + 02 = 12 = 0.5 :

Resposta

O valor de é 0,5.

Exercícios relacionados