Seja
Definir regâo de influência do intervalo
no seguinte problema de Cauchy para a equação de onda:
(a) Usando as caraterísticas, achar valor
.
Passo 1
Então, temos um problema que envolve a equação da onda, que descreve como ondas se propagam em um meio. A gente precisa descobrir a região de influência do intervalo
e, especificamente, calcular o valor de
usando as características. Para isso, vamos precisar entender como as ondas se movem e como aplicar o método das características para resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação da onda dada:
Aqui,
representa a segunda derivada de
em relação ao tempo
, e
é a segunda derivada em relação ao espaço
. O número 16 está relacionado à velocidade com que a onda se propaga.
Passo 3
As condições iniciais do problema são:
Isso significa que, no instante inicial
, a onda tem um valor de 1 no intervalo
e 0 fora desse intervalo, e não está mudando com o tempo inicialmente.
Passo 4
Para resolver a equação da onda usando as características, precisamos identificar as direções em que as informações da onda se propagam. A solução geral da equação da onda pode ser escrita como a soma de duas funções que se movem nas direções positiva e negativa:
Onde
é a velocidade da onda. No nosso caso,
.
Passo 5
Aplicando as condições iniciais, temos:
Da segunda condição, vemos que
, o que implica
. Considerando simetria e condições de contorno, concluímos que
.
Passo 6
Então, a solução se simplifica para:
Precisamos encontrar a função
que satisfaça
, ou seja:
Passo 7
Substituindo
na solução, temos:
Agora, para calcular
, vamos substituir
e
:
Calculando os argumentos:
Passo 8
Agora, avaliamos
nos pontos
e
:
- Para
: Como , . - Para
: Como , .
Passo 9
Substituindo esses valores na expressão de
:
Resposta
O valor de
é 0,5.