Seja
Definir regâo de influência do intervalo
no seguinte problema de Cauchy para a equação de onda:
(b) Achar o domínio de dependência para
.
Passo 1
O enunciado apresenta o problema de Cauchy para a equação da onda unidimensional
u_{tt} - 16u_{xx} = 0 com condições iniciais u(x,0)=u_0(x) e u_t(x,0)=0. Aqui a velocidade de propagação é c=4 e queremos achar o conjunto de pontos na linha inicial t=0 que influenciam o ponto (x₀,t₀)=(4.5,1).
u_{tt} - 16u_{xx} = 0 com condições iniciais u(x,0)=u_0(x) e u_t(x,0)=0. Aqui a velocidade de propagação é c=4 e queremos achar o conjunto de pontos na linha inicial t=0 que influenciam o ponto (x₀,t₀)=(4.5,1).
Passo 2
Para equações da onda, o domínio de dependência de (x₀,t₀) é dado pelo cone característico regressivo, i.e. os pontos (x,0) tais que
pois as características são retas x = x₀ ± c(t₀ - t).
Passo 3
Bast a aplicar os valores x₀=4.5, t₀=1 e c=4:
Resposta
O domínio de dependência para (4.5,1) é o intervalo [0.5,8.5] na linha t=0.