Seja
u0(x)=lll 1, & se & x in[-1,1] 0, & se & x notin[-1,1]
Definir regâo de influência do intervalo [0,1] no seguinte problema de Cauchy para a equação de onda:
& ut t-16 ux x=0, (x, t) in R+^2 & u(x, 0)=u0(x), ut(x, 0)=0
(b) Achar o domínio de dependência para (x0, t0)=(4.5,1).

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de Cauchy para a equação da onda unidimensional
u_{tt} - 16u_{xx} = 0 com condições iniciais u(x,0)=u_0(x) e u_t(x,0)=0. Aqui a velocidade de propagação é c=4 e queremos achar o conjunto de pontos na linha inicial t=0 que influenciam o ponto (x₀,t₀)=(4.5,1).

Passo 2

Para equações da onda, o domínio de dependência de (x₀,t₀) é dado pelo cone característico regressivo, i.e. os pontos (x,0) tais que
x in [x₀ - c,t₀,,x₀ + c,t₀]
pois as características são retas x = x₀ ± c(t₀ - t).

Passo 3

Bast a aplicar os valores x₀=4.5, t₀=1 e c=4:
x in [4.5 - 4cdot1,,4.5 + 4cdot1] = [0.5,,8.5]

Resposta

O domínio de dependência para (4.5,1) é o intervalo [0.5,8.5] na linha t=0.

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