(2,5 pontos) Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função
na região triangular fechada com vértices
e
.
Passo 1
O enunciado pede os valores máximo e mínimo absolutos de
na região triangular fechada com vértices
,
e
.
Conteúdo: extrema de funções de duas variáveis em regiões compactas. Vamos verificar pontos críticos internos e depois as três arestas do triângulo.
Conteúdo: extrema de funções de duas variáveis em regiões compactas. Vamos verificar pontos críticos internos e depois as três arestas do triângulo.
Passo 2
Procuramos pontos críticos no interior. Calculamos o gradiente:
Igualando a zero:
O candidato é
, mas observando a descrição da região vê-se que para
temos
. Logo
está fora do triângulo e não contribui.
Passo 3
Analisamos a aresta de
a
. Aqui
e
, então
A derivada em
é
, nula em
(fora do intervalo), e para
ela é positiva. Logo
é crescente em
.
Portanto
Portanto
Passo 4
Analisamos a aresta de
a
. Parametrização
,
. Então
Derivando em
:
, que se anula em
.
Valores:
Valores:
Assim nesta aresta o mínimo é
em
.
Passo 5
Analisamos a aresta de
a
. Parametrização
,
. Então
Derivando:
, zero em
.
Valores:
Valores:
Nesta aresta o valor mínimo é
em
e o máximo é
em
.
Passo 6
Reunindo todos os candidatos:
- Sobre as arestas, obtivemos valores
, , , , . - Não há ponto crítico no interior.
O menor de todos éem e o maior é em .
Resposta
O valor mínimo absoluto é
em
.
O valor máximo absoluto é em
.
O valor máximo absoluto é