(2,5 pontos) Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função f(x, y)=x^{2}+y^{2}-2 x na região triangular fechada com vértices (2,0),(0,2) e (4,0).

Passo 1

O enunciado pede os valores máximo e mínimo absolutos de
f(x,y)=x^{2}+y^{2}-2x
na região triangular fechada com vértices (2,0), (0,2) e (4,0).
Conteúdo: extrema de funções de duas variáveis em regiões compactas. Vamos verificar pontos críticos internos e depois as três arestas do triângulo.

Passo 2

Procuramos pontos críticos no interior. Calculamos o gradiente:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x-2,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2y.
Igualando a zero:
2x-2=0\implies x=1,\qquad 2y=0\implies y=0.
O candidato é (1,0), mas observando a descrição da região vê-se que para y=0 temos 2\le x\le4. Logo (1,0) está fora do triângulo e não contribui.

Passo 3

Analisamos a aresta de (2,0) a (4,0). Aqui y=0 e 2\le x\le4, então
f(x,0)=x^{2}-2x=x(x-2).
A derivada em x é 2x-2, nula em x=1 (fora do intervalo), e para x\ge2 ela é positiva. Logo f é crescente em [2,4].
Portanto
\min_{[2,4]}f(x,0)=f(2,0)=0, \quad \max_{[2,4]}f(x,0)=f(4,0)=16-8=8.

Passo 4

Analisamos a aresta de (2,0) a (0,2). Parametrização (x,y)=(2-2t,\,2t), 0\le t\le1. Então
f(t)= (2-2t)^{2}+(2t)^{2}-2(2-2t) =8t^{2}-4t.
Derivando em t: f'(t)=16t-4, que se anula em t=\tfrac14\in[0,1].
Valores:
f(0)=f(2,0)=0,\quad f(1)=f(0,2)=4,\quad f\bigl(\tfrac14\bigr)=8\bigl(\tfrac1{16}\bigr)-4\bigl(\tfrac14\bigr)=\tfrac12-1=-\tfrac12.
Assim nesta aresta o mínimo é -\tfrac12 em \bigl(x,y\bigr)=(2-2\cdot\tfrac14,\,2\cdot\tfrac14)=(\tfrac32,\tfrac12).

Passo 5

Analisamos a aresta de (4,0) a (0,2). Parametrização (x,y)=(4-4t,\,2t), 0\le t\le1. Então
f(t)=(4-4t)^{2}+(2t)^{2}-2(4-4t) =20t^{2}-24t+8.
Derivando: f'(t)=40t-24, zero em t=\tfrac{24}{40}=\tfrac35\in[0,1].
Valores:
f(0)=f(4,0)=8,\quad f(1)=f(0,2)=4,\quad f\bigl(\tfrac35\bigr)=20\bigl(\tfrac9{25}\bigr)-24\bigl(\tfrac35\bigr)+8 =7{,}2-14{,}4+8=0{,}8.
Nesta aresta o valor mínimo é 0{,}8 em \bigl(4-4\cdot\tfrac35,\,2\cdot\tfrac35\bigr)=(1{,}6,1{,}2) e o máximo é 8 em (4,0).

Passo 6

Reunindo todos os candidatos:
  • Sobre as arestas, obtivemos valores 0, 8, -\tfrac12, 4, 0{,}8.
  • Não há ponto crítico no interior.
    O menor de todos é -\tfrac12 em (\tfrac32,\tfrac12) e o maior é 8 em (4,0).

Resposta

O valor mínimo absoluto é -\tfrac12 em \bigl(\tfrac32,\tfrac12\bigr).
O valor máximo absoluto é 8 em (4,0).

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