Exercicios
Calcule a transformada de Laplace de
f(t)=llt^3, & t<5 e^2 t, & t>5

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de uma função por partes: f(t)=t^3 para t<5 e f(t)=e^{2t} para t>5. O conteúdo aqui é a definição da transformada de Laplace e como lidar com funções definidas por trechos, usando a propriedade de linearidade e a divisão da integral em intervalos.

Passo 2

A definição de transformada de Laplace é
F(s)=Lf(t)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt
Como f(t) é por partes, dividimos a integral em dois trechos:
F(s)=integral0^5t^3e^-st,dt+integral5^inftye^2te^-st,dt

Passo 3

Vamos calcular a primeira integral
I1=integral0^5t^3e^-st,dt
Usamos a fórmula para integral0^at^ne^-stdt:
integral0^at^n e^-stdt=n!s^n+1 - e^-assumk=0^n n!(n-k)!a^n-ks^k+1
Aqui n=3 e a=5, então 3!=6 e
I1=6s^4-e^-5sl(125s+75s^2+30s^3+6s^4r)

Passo 4

Agora a segunda integral:
I2=integral5^inftye^2te^-stdt=integral5^inftye^-(s-2)tdt
Para Re(s)>2, temos
I2=[e^-(s-2)t-(s-2)]5^infty=e^-(s-2)5s-2=e^-5s+10s-2

Passo 5

Somando I1 e I2 obtemos a transformada de Laplace desejada.

Resposta

F(s)=6s^4-e^-5sl(125s+75s^2+30s^3+6s^4r)+e^-5s+10s-2

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