Encontre a transformada inversa de Laplace das funções
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função . O conteúdo envolve transformadas inversas de Laplace e decomposição em frações parciais. Vamos usar que , e .
Passo 2
Para separar em partes conhecidas, fazemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por obtemos
Passo 3
Expandindo o lado direito e agrupando termos de potências de :
Igualando aos coeficientes do polinômio constante , temos o sistema
Passo 4
Resolvendo o sistema: de A + B=0 vem B=-A. De 2B + C=0 vem C=-2B=2A. Substituindo em A+2C=3:
A + 2(2A) = 5A = 3 implies A=35, B=-35, C=65
Passo 5
Com os coeficientes em mãos, reescrevemos H(s):
H(s)=3/5s+2 - 3/5,ss^2+1 + 6/5s^2+1
Aplicando a transformada inversa de Laplace termo a termo:
L^-1tfrac3/5s+2 = tfrac35e^-2t, L^-1tfracss^2+1 = cos t, L^-1tfrac1s^2+1 = sin t,
obtemos a solução em função do tempo.
Portanto, a transformada inversa de Laplace é dada por: