Encontre a transformada inversa de Laplace das funções
H(s)=3(s+2)(s^2+1)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função H(s)=tfrac3(s+2)(s^2+1). O conteúdo envolve transformadas inversas de Laplace e decomposição em frações parciais. Vamos usar que L^-11/(s+a)=e^-at, L^-1s/(s^2+1)=cos t e L^-11/(s^2+1)=sin t.

Passo 2

Para separar H(s) em partes conhecidas, fazemos a decomposição em frações parciais:
3(s+2)(s^2+1) = As+2 + Bs + Cs^2+1
Multiplicando ambos os lados por (s+2)(s^2+1) obtemos
3 = A(s^2+1) + (Bs + C)(s+2)

Passo 3

Expandindo o lado direito e agrupando termos de potências de s:
A s^2 + A + Bs^2 + 2Bs + Cs + 2C = (A + B)s^2 + (2B + C)s + (A + 2C)
Igualando aos coeficientes do polinômio constante 3, temos o sistema
A + B = 0, 2B + C = 0, A + 2C = 3

Passo 4

Resolvendo o sistema: de A + B=0 vem B=-A. De 2B + C=0 vem C=-2B=2A. Substituindo em A+2C=3:
A + 2(2A) = 5A = 3 implies A=35, B=-35, C=65

Passo 5

Com os coeficientes em mãos, reescrevemos H(s):
H(s)=3/5s+2 - 3/5,ss^2+1 + 6/5s^2+1
Aplicando a transformada inversa de Laplace termo a termo:
L^-1tfrac3/5s+2 = tfrac35e^-2t, L^-1tfracss^2+1 = cos t, L^-1tfrac1s^2+1 = sin t,
obtemos a solução em função do tempo.
Portanto, a transformada inversa de Laplace é dada por:

Resposta

h(t) = 35e^-2t - 35cos t + 65sin t

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