Exercícios

  1. Uma comissão formada por 3 homens e 3 mulheres deve ser escolhida em um grupo de 8 homens e 5 mulheres.
    a) Quantas comissões podem ser formadas?
    b) Qual seria a resposta se um dos homens não aceitassem participar da comissão se nela estivesse determinada mulher?

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o enunciado pede e quais são os dados relevantes. Temos um grupo com 8 homens e 5 mulheres. Devemos formar uma comissão composta por 3 homens e 3 mulheres. O enunciado faz duas perguntas:
a) Quantas comissões podem ser formadas sem restrição adicional?
b) Quantas comissões podem ser formadas se houver uma restrição: um dos homens não aceita participar caso uma determinada mulher esteja na comissão (isto é, a comissão não pode conter ao mesmo tempo esse homem e essa mulher)?
Dado importante: números de pessoas estão no enunciado: homens =8, mulheres =5, queremos escolher 3 de cada sexo.

Passo 2

Antes de calcular, preciso te explicar a ferramenta principal: combinação (escolha sem ordem).
Quando queremos escolher k elementos de um conjunto com n elementos e a ordem não importa, usamos o coeficiente binomial
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots1.
Exemplo simples para fixar: escolher 2 entre 4. Temos
\binom{4}{2}=\frac{4\cdot3}{2\cdot1}=6,
ou seja, há 6 maneiras. Isso é importante porque na prova você repete esse cálculo várias vezes — pega o jeito rápido com fatores cancelando.

Passo 3

Aplicando isso aos homens: precisamos escolher 3 homens entre 8. Então usamos
\binom{8}{3}=\frac{8!}{3!5!}.
Calculemos de forma prática, cancelando fatores:
\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}.
Agora faça as contas passo a passo: 8\cdot7\cdot6=336 e 3\cdot2\cdot1=6. Então
\binom{8}{3}=\frac{336}{6}=56.

Passo 4

Agora as mulheres: escolher 3 mulheres entre 5:
\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!2!}=\frac{5\cdot4\cdot3}{3\cdot2\cdot1}.
Cancelando 3 no numerador e denominador,
\binom{5}{3}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=\frac{20}{2}=10.

Passo 5

Explicando por que multiplicamos: a escolha dos homens e das mulheres são decisões independentes (escolher os homens não altera as formas de escolher as mulheres), então aplicamos o princípio fundamental da contagem (regra do produto). Assim o número total de comissões sem restrição é
\binom{8}{3}\times\binom{5}{3}=56\times10.
Calcule 56\times10=560. Portanto a resposta da parte (a) é 560. Força — já passamos da metade!

Passo 6

Agora a parte (b): há uma restrição — existe um homem (vou chamá‑lo mentalmente de “homem proibitivo”) que não participa se uma certa mulher (a “mulher proibida”) estiver na comissão. Ou seja, comissões que contenham simultaneamente esse homem e essa mulher são impossíveis. Uma forma simples de contar é: contar todas as comissões sem restrição e subtrair as comissões que violam a restrição (isto é, que contêm ambos). Usei o princípio do complemento porque é mais curto e menos sujeito a erro do que fazer vários casos separados.

Passo 7

Contemos quantas comissões incluem ambos (o homem proibitivo e a mulher proibida). Se esses dois já estão fixos na comissão, faltam escolher:
  • 2 homens dentre os 7 homens restantes (porque um dos 8 já está fixo): \binom{7}{2}.
  • 2 mulheres dentre as 4 mulheres restantes (porque uma das 5 já está fixa): \binom{4}{2}.
Calculemos cada uma:
\binom{7}{2}=\frac{7\cdot6}{2\cdot1}=21,
\binom{4}{2}=\frac{4\cdot3}{2\cdot1}=6.
Multiplicando, o número de comissões que contêm ambos é
21\times6=126.

Passo 8

Finalmente, usando complemento: o número de comissões válidas (que não contêm ambos simultaneamente) é o total sem restrição menos as comissões proibidas:
560-126=434.

Resposta

a) 560
b) 434

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