Exercícios
- Uma comissão formada por 3 homens e 3 mulheres deve ser escolhida em um grupo de 8 homens e 5 mulheres.
a) Quantas comissões podem ser formadas?
b) Qual seria a resposta se um dos homens não aceitassem participar da comissão se nela estivesse determinada mulher?
a) Quantas comissões podem ser formadas?
b) Qual seria a resposta se um dos homens não aceitassem participar da comissão se nela estivesse determinada mulher?
Passo 1
Vou deixar muito claro o que o enunciado pede e quais são os dados relevantes. Temos um grupo com
homens e
mulheres. Devemos formar uma comissão composta por
homens e
mulheres. O enunciado faz duas perguntas:
a) Quantas comissões podem ser formadas sem restrição adicional?
b) Quantas comissões podem ser formadas se houver uma restrição: um dos homens não aceita participar caso uma determinada mulher esteja na comissão (isto é, a comissão não pode conter ao mesmo tempo esse homem e essa mulher)?
a) Quantas comissões podem ser formadas sem restrição adicional?
b) Quantas comissões podem ser formadas se houver uma restrição: um dos homens não aceita participar caso uma determinada mulher esteja na comissão (isto é, a comissão não pode conter ao mesmo tempo esse homem e essa mulher)?
Dado importante: números de pessoas estão no enunciado: homens
, mulheres
, queremos escolher
de cada sexo.
Passo 2
Antes de calcular, preciso te explicar a ferramenta principal: combinação (escolha sem ordem).
Quando queremos escolher elementos de um conjunto com
elementos e a ordem não importa, usamos o coeficiente binomial
Quando queremos escolher
onde
(fatorial) é
.
Exemplo simples para fixar: escolher entre
. Temos
Exemplo simples para fixar: escolher
ou seja, há
maneiras. Isso é importante porque na prova você repete esse cálculo várias vezes — pega o jeito rápido com fatores cancelando.
Passo 3
Aplicando isso aos homens: precisamos escolher
homens entre
. Então usamos
Calculemos de forma prática, cancelando fatores:
Agora faça as contas passo a passo:
e
. Então
Passo 4
Agora as mulheres: escolher
mulheres entre
:
Cancelando
no numerador e denominador,
Passo 5
Explicando por que multiplicamos: a escolha dos homens e das mulheres são decisões independentes (escolher os homens não altera as formas de escolher as mulheres), então aplicamos o princípio fundamental da contagem (regra do produto). Assim o número total de comissões sem restrição é
Calcule
. Portanto a resposta da parte (a) é
. Força — já passamos da metade!
Passo 6
Agora a parte (b): há uma restrição — existe um homem (vou chamá‑lo mentalmente de “homem proibitivo”) que não participa se uma certa mulher (a “mulher proibida”) estiver na comissão. Ou seja, comissões que contenham simultaneamente esse homem e essa mulher são impossíveis. Uma forma simples de contar é: contar todas as comissões sem restrição e subtrair as comissões que violam a restrição (isto é, que contêm ambos). Usei o princípio do complemento porque é mais curto e menos sujeito a erro do que fazer vários casos separados.
Passo 7
Contemos quantas comissões incluem ambos (o homem proibitivo e a mulher proibida). Se esses dois já estão fixos na comissão, faltam escolher:
-
homens dentre os homens restantes (porque um dos já está fixo): . -
mulheres dentre as mulheres restantes (porque uma das já está fixa): .
Calculemos cada uma:
Multiplicando, o número de comissões que contêm ambos é
Passo 8
Finalmente, usando complemento: o número de comissões válidas (que não contêm ambos simultaneamente) é o total sem restrição menos as comissões proibidas:
Resposta
a)
b)
b)