1. Quantas são as soluções inteiras não negativas de
x+y+z+w<6 ?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantas são as soluções inteiras não negativas de
x+y+z+w<6.
Informações dadas:
  • As variáveis são x,y,z,w.
  • Cada variável é um inteiro não negativo (ou seja, x,y,z,w\in\{0,1,2,\dots\}).
  • A desigualdade é estrita, ou seja a soma deve ser menor que 6.

Passo 2

Primeiro passo simples de organização: a condição x+y+z+w<6 é equivalente a
x+y+z+w\le 5,
porque somas inteiras menores que 6 são exatamente as somas inteiras até 5. Então podemos contar as soluções inteiras não negativas de
x+y+z+w\le 5.
Vou usar um método combinatório clássico (que é o mais prático aqui): transformar a condição de desigualdade em uma equação com uma variável auxiliar ou somar as contagens para cada soma fixa. Vou explicar ambos os jeitos — escolhi esses porque funcionam sem cálculo pesado e são fáceis de aplicar na prova.

Passo 3

Explicando a ideia fundamental (estrelas e barras) de forma didática e com exemplo:
  • Queremos contar soluções inteiras não negativas da equação x_1+x_2+\dots+x_n = s,onde cada x_i é inteiro não negativo. A interpretação combinatória: temos s “estrelas” idênticas a serem distribuídas em n caixas (as variáveis). Uma distribuição corresponde a uma sequência de s estrelas separadas por n-1 barras que marcam os limites entre caixas.
  • O número de sequências possíveis (configurações de estrelas e barras) é o número de maneiras de escolher posições para as n-1 barras entre as s+n-1 posições ocupadas por estrelas+balas. Portanto \text{o número de soluções} = \binom{s+n-1}{n-1}.úçõ
  • Exemplo rápido: para n=2 e s=3 (isto é x_1+x_2=3), temos \binom{3+2-1}{2-1}=\binom{4}{1}=4 soluções: (0,3),(1,2),(2,1),(3,0). Faz sentido, certo?
No nosso problema temos n=4 variáveis (x,y,z,w). Para uma soma fixa s (com 0\le s\le 5) o número de soluções não negativas de
x+y+z+w = s
é, pela fórmula acima,
\binom{s+4-1}{4-1}=\binom{s+3}{3}.

Passo 4

Agora contamos todas as somas possíveis s=0,1,2,3,4,5. Para cada s \binom{s+3}{3} soluções, então o total é
\sum_{s=0}^{5}\binom{s+3}{3}.
Posso calcular termo a termo (isso é útil na prova para não confiar só em identidade):
  • Para s=0: \binom{0+3}{3}=\binom{3}{3}=1.
  • Para s=1: \binom{1+3}{3}=\binom{4}{3}=4.
  • Para s=2: \binom{2+3}{3}=\binom{5}{3}=10.
  • Para s=3: \binom{3+3}{3}=\binom{6}{3}=20.
  • Para s=4: \binom{4+3}{3}=\binom{7}{3}=35.
  • Para s=5: \binom{5+3}{3}=\binom{8}{3}=56.
Somando:
1+4+10+20+35+56 = 126.

Passo 5

Mostro também um método alternativo curto (muito comum em prova) que chega direto ao mesmo resultado, para você ter uma segunda opção prática:
  • A condição x+y+z+w\le 5 pode ser transformada em igualdade adicionando uma variável “folga” t\ge 0 tal que x+y+z+w+t = 5.
  • Agora temos n=5 variáveis não negativas somando 5. Pelo princípio das estrelas e barras o número de soluções é \binom{5+5-1}{5-1}=\binom{9}{4}.
  • Calculando \binom{9}{4}: \binom{9}{4}=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=126.
Isto confirma o resultado anterior. (Observação rápida: existe também uma identidade combinatória que diz \sum_{s=0}^{m}\binom{s+k}{k}=\binom{m+k+1}{k+1}; aplicando com k=3 e m=5 \binom{9}{4}.)

Passo 6

Resumo prático para a prova: transforme x+y+z+w<6 em x+y+z+w\le 5, introduza a variável folga ou some as contagens por soma fixa. Use estrelas e barras. Resultado final: 126. Força aí, você já tem duas maneiras rápidas de justificar na prova.

Resposta

126

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