- Quantas são as soluções inteiras não negativas de
Passo 1
O enunciado pede: contar quantas são as soluções inteiras não negativas de
Informações dadas:
- As variáveis são
. - Cada variável é um inteiro não negativo (ou seja,
). - A desigualdade é estrita, ou seja a soma deve ser menor que
.
Passo 2
Primeiro passo simples de organização: a condição
é equivalente a
porque somas inteiras menores que
são exatamente as somas inteiras até
. Então podemos contar as soluções inteiras não negativas de
Vou usar um método combinatório clássico (que é o mais prático aqui): transformar a condição de desigualdade em uma equação com uma variável auxiliar ou somar as contagens para cada soma fixa. Vou explicar ambos os jeitos — escolhi esses porque funcionam sem cálculo pesado e são fáceis de aplicar na prova.
Passo 3
Explicando a ideia fundamental (estrelas e barras) de forma didática e com exemplo:
- Queremos contar soluções inteiras não negativas da equação
onde cada é inteiro não negativo. A interpretação combinatória: temos “estrelas” idênticas a serem distribuídas em caixas (as variáveis). Uma distribuição corresponde a uma sequência de estrelas separadas por barras que marcam os limites entre caixas. - O número de sequências possíveis (configurações de estrelas e barras) é o número de maneiras de escolher posições para as
barras entre as posições ocupadas por estrelas+balas. Portanto - Exemplo rápido: para
e (isto é ), temos soluções: . Faz sentido, certo?
No nosso problema temos
variáveis
. Para uma soma fixa
(com
) o número de soluções não negativas de
é, pela fórmula acima,
Passo 4
Agora contamos todas as somas possíveis
. Para cada
há
soluções, então o total é
Posso calcular termo a termo (isso é útil na prova para não confiar só em identidade):
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
Somando:
Passo 5
Mostro também um método alternativo curto (muito comum em prova) que chega direto ao mesmo resultado, para você ter uma segunda opção prática:
- A condição
pode ser transformada em igualdade adicionando uma variável “folga” tal que - Agora temos
variáveis não negativas somando . Pelo princípio das estrelas e barras o número de soluções é - Calculando
:
Isto confirma o resultado anterior. (Observação rápida: existe também uma identidade combinatória que diz
; aplicando com
e
dá
.)
Passo 6
Resumo prático para a prova: transforme
em
, introduza a variável folga ou some as contagens por soma fixa. Use estrelas e barras. Resultado final:
. Força aí, você já tem duas maneiras rápidas de justificar na prova.