1. Quantas são as soluções inteiras positivas de x+y+z=10 ?
  2. Quantas são as soluções inteiras positivas de x+y+z<10 ?
  3. Quantas são as peças de um dominó comum?

Passo 1

Vou listar o que cada pergunta pede e os dados que temos, com calma para não nos perder:
  • Pergunta 3: “Quantas são as soluções inteiras positivas de x+y+z=10?” — aqui procuramos todas as triplas (x,y,z) com x,y,z inteiros e x\ge1,\;y\ge1,\;z\ge1 que somam 10.
  • Pergunta 4: “Quantas são as soluções inteiras positivas de x+y+z<10?” — agora queremos todas as triplas (x,y,z) com x,y,z inteiros positivos e soma estritamente menor que 10 (ou seja, soma pode ser 3,4,\dots,9).
  • Pergunta 5: “Quantas são as peças de um dominó comum?” — devemos entender que “dominó comum” refere-se ao conjunto duplo-seis, onde os lados vão de 0 a 6, e as peças são pares não ordenados de valores (por exemplo (2,5) é a mesma peça que (5,2)).
Agora que sabemos exatamente o que cada item pergunta e quais são as condições, vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Resolvendo a pergunta 3: método direto (ideia de “estrelas e barras”). Primeiro, explico a técnica de forma bem didática.
  • Problema genérico: quantas soluções inteiras positivas tem \;x_1+x_2+\dots+x_k=n\; com cada x_i\ge1?
  • Ideia visual: pense em n estrelas alinhadas. Como queremos dividir essas n unidades em k caixas (cada caixa corresponde a um x_i) e cada caixa precisa ter pelo menos 1 estrela, colocamos k-1 barras entre as estrelas para separar as caixas. Há n-1 “espaços” entre estrelas onde essas k-1 barras podem ser colocadas.
  • Portanto o número de maneiras é escolher k-1 espaços dentre n-1, ou seja \binom{n-1}{k-1}. Esta é a fórmula clássica: o número de soluções inteiras positivas de \;x_1+\dots+x_k=n\; é \displaystyle \binom{n-1}{k-1}.
    Aplicando ao nosso caso: temos k=3 variáveis e n=10. Então o número de soluções é
\binom{10-1}{3-1}=\binom{9}{2}.
Agora calculemos \binom{9}{2} de forma elementar:
\binom{9}{2}=\frac{9\cdot 8}{2\cdot 1}=\frac{72}{2}=36.
Portanto existem 36 soluções inteiras positivas de x+y+z=10. (Respirei com você — faz sentido? Se quiser, depois eu mostro exemplos concretos de algumas triplas.)

Passo 3

Fazendo um pequeno exemplo para fixar a ideia (opcional, mas ajuda a entender): suponha x+y+z=5 com x,y,z\ge1. Pela fórmula seria \binom{5-1}{3-1}=\binom{4}{2}=6. Podemos listar rápido: (1,1,3),(1,3,1),(3,1,1),(1,2,2),(2,1,2),(2,2,1) — realmente são 6. Isso confirma que a ideia das barras entre estrelas funciona e que a fórmula está certa.

Passo 4

Resolvendo a pergunta 4: transformar a condição de “menor que” em uma soma com variável extra.
  • Queremos contar todas as triplas (x,y,z) com x,y,z\ge1 e x+y+z<10. Equivalente: existe um inteiro positivo w tal que
x+y+z+w=10
com x,y,z,w\ge1. Aqui eu defini w:=10-(x+y+z), e como x+y+z<10 temos w\ge1. Essa bijeção transforma o problema em contar soluções inteiras positivas de uma soma com 4 variáveis.
  • Pelo mesmo princípio das barras e estrelas, o número de soluções positivas de \;x+y+z+w=10\; é
\binom{10-1}{4-1}=\binom{9}{3}.
Agora calculemos \binom{9}{3} de maneira elementar:
\binom{9}{3}=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{3\cdot 2\cdot 1}=\frac{504}{6}=84.
Portanto existem 84 soluções inteiras positivas de x+y+z<10.
Observação extra (útil para a prova): essa técnica de introduzir uma variável complementar w é muito prática sempre que aparece uma desigualdade do tipo soma < ou \le; transforma em igualdade acrescentando uma variável que absorve a diferença.

Passo 5

Uma verificação alternativa (para fixar de vez): somar todos os casos com soma igual a k para k=3 até k=9. Para cada k o número é \binom{k-1}{2}. Então queremos
\sum_{k=3}^{9}\binom{k-1}{2}=\sum_{j=2}^{8}\binom{j}{2}.
Pela identidade do tipo “hockey-stick” (que dá somas de binomiais), essa soma vale \binom{9}{3}=84. Isso confirma que o raciocínio do passo anterior está coerente com outra visão combinatória.

Passo 6

Resolvendo a pergunta 5: quantas peças tem um dominó comum (duplo-seis)? Explico devagar.
  • As peças do dominó são pares não ordenados (a,b) com a e b inteiros e 0\le a\le b\le 6. Ou seja, podemos ter duplos (0,0),(1,1),\dots,(6,6) e todas as combinações (i,j) com i<j.
  • Um jeito de contar: para i=0 7 possibilidades de b (de 0 a 6), para i=1 6 possibilidades (de 1 a 6), e assim por diante até i=6 com 1 possibilidade. Logo o total é
7+6+5+4+3+2+1=\frac{7\cdot 8}{2}=28.
  • Outra forma, usando a fórmula de combinações com repetição: escolher 2 elementos (os valores dos lados) dentre 7 tipos ( 0 a 6), permitindo repetição e sem ordem, tem número \displaystyle \binom{7+2-1}{2}=\binom{8}{2}=28. Ambas as contas dão o mesmo resultado.
    Logo, um dominó comum (duplo-seis) tem 28 peças.

Resposta

36
84
28

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