- Quantas são as soluções inteiras positivas de
?
- Quantas são as soluções inteiras positivas de
?
- Quantas são as peças de um dominó comum?
Passo 1
Vou listar o que cada pergunta pede e os dados que temos, com calma para não nos perder:
- Pergunta 3: “Quantas são as soluções inteiras positivas de
?” — aqui procuramos todas as triplas com inteiros e que somam 10. - Pergunta 4: “Quantas são as soluções inteiras positivas de
?” — agora queremos todas as triplas com inteiros positivos e soma estritamente menor que 10 (ou seja, soma pode ser ). - Pergunta 5: “Quantas são as peças de um dominó comum?” — devemos entender que “dominó comum” refere-se ao conjunto duplo-seis, onde os lados vão de
a , e as peças são pares não ordenados de valores (por exemplo é a mesma peça que ).
Agora que sabemos exatamente o que cada item pergunta e quais são as condições, vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Resolvendo a pergunta 3: método direto (ideia de “estrelas e barras”). Primeiro, explico a técnica de forma bem didática.
- Problema genérico: quantas soluções inteiras positivas tem
com cada ? - Ideia visual: pense em
estrelas alinhadas. Como queremos dividir essas unidades em caixas (cada caixa corresponde a um ) e cada caixa precisa ter pelo menos 1 estrela, colocamos barras entre as estrelas para separar as caixas. Há “espaços” entre estrelas onde essas barras podem ser colocadas. - Portanto o número de maneiras é escolher
espaços dentre , ou seja . Esta é a fórmula clássica: o número de soluções inteiras positivas de é .
Aplicando ao nosso caso: temosvariáveis e . Então o número de soluções é
Agora calculemos
de forma elementar:
Portanto existem
soluções inteiras positivas de
. (Respirei com você — faz sentido? Se quiser, depois eu mostro exemplos concretos de algumas triplas.)
Passo 3
Fazendo um pequeno exemplo para fixar a ideia (opcional, mas ajuda a entender): suponha
com
. Pela fórmula seria
. Podemos listar rápido:
— realmente são 6. Isso confirma que a ideia das barras entre estrelas funciona e que a fórmula está certa.
Passo 4
Resolvendo a pergunta 4: transformar a condição de “menor que” em uma soma com variável extra.
- Queremos contar todas as triplas
com e . Equivalente: existe um inteiro positivo tal que
com
. Aqui eu defini
, e como
temos
. Essa bijeção transforma o problema em contar soluções inteiras positivas de uma soma com
variáveis.
- Pelo mesmo princípio das barras e estrelas, o número de soluções positivas de
é
Agora calculemos
de maneira elementar:
Portanto existem
soluções inteiras positivas de
.
Observação extra (útil para a prova): essa técnica de introduzir uma variável complementar é muito prática sempre que aparece uma desigualdade do tipo soma
ou
; transforma em igualdade acrescentando uma variável que absorve a diferença.
Observação extra (útil para a prova): essa técnica de introduzir uma variável complementar
Passo 5
Uma verificação alternativa (para fixar de vez): somar todos os casos com soma igual a
para
até
. Para cada
o número é
. Então queremos
Pela identidade do tipo “hockey-stick” (que dá somas de binomiais), essa soma vale
. Isso confirma que o raciocínio do passo anterior está coerente com outra visão combinatória.
Passo 6
Resolvendo a pergunta 5: quantas peças tem um dominó comum (duplo-seis)? Explico devagar.
- As peças do dominó são pares não ordenados
com e inteiros e . Ou seja, podemos ter duplos e todas as combinações com . - Um jeito de contar: para
há possibilidades de (de a ), para há possibilidades (de a ), e assim por diante até com possibilidade. Logo o total é
- Outra forma, usando a fórmula de combinações com repetição: escolher 2 elementos (os valores dos lados) dentre 7 tipos (
a ), permitindo repetição e sem ordem, tem número . Ambas as contas dão o mesmo resultado.
Logo, um dominó comum (duplo-seis) tempeças.