Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores \\overrightarrow{\mathrm{u}}=2 \overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2 \overrightarrow{\mathrm{k}}\ , \overrightarrow{\mathrm{v}}=5 \overrightarrow{\mathrm{i}}+5 \overrightarrow{\mathrm{j}}-2 \mathrm{k}\ e \overrightarrow{\mathrm{w}}=3 \overrightarrow{\mathrm{i}}+6 \overrightarrow{\mathrm{j}}\.
Determine:
A medida algébrica da projeção de \vec{v}\ na direção de \vec{u}.

Passo 1

O enunciado pede a medida algébrica da projeção de \vec{v} na direção de \vec{u}. Dados fornecidos:
\overrightarrow{\mathrm{u}}=2\overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2\overrightarrow{\mathrm{k}},
\overrightarrow{\mathrm{v}}=5\overrightarrow{\mathrm{i}}+5\overrightarrow{\mathrm{j}}-2\overrightarrow{\mathrm{k}}.
Vou usar as componentes dos vetores: \vec{u}=(2,-1,2) e \vec{v}=(5,5,-2).
O que se pede é o comprimento assinado (medida algébrica) da projeção de \vec{v} sobre a direção de \vec{u} — isto é, o componente escalar de \vec{v} na direção de \vec{u}.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar. A projeção escalar (medida algébrica) de \vec{v} sobre \vec{u} é dada por
\text{comp}_{\vec{u}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\|\vec{u}\|}.
Explicando cada termo:
  • \vec{v}\cdot\vec{u} é o produto escalar entre \vec{v} e \vec{u}, que mede quanto \vec{v} “aponta” na direção de \vec{u}.
  • \|\vec{u}\| é o comprimento (norma) de \vec{u}.
    O resultado é um número (positivo ou negativo) que indica a magnitude assinada da projeção de \vec{v} na direção de \vec{u}.

Passo 3

Cálculo do produto escalar \vec{v}\cdot\vec{u}. A definição do produto escalar em coordenadas é:
\vec{v}\cdot\vec{u}=v_1u_1+v_2u_2+v_3u_3,
onde v_i e u_i são as componentes dos vetores. Usando \vec{v}=(5,5,-2) e \vec{u}=(2,-1,2):
\vec{v}\cdot\vec{u}=5\cdot 2 + 5\cdot(-1) + (-2)\cdot 2.
Agora calculamos termo a termo:
5\cdot 2=10,\quad 5\cdot(-1)=-5,\quad (-2)\cdot 2=-4.
Somando:
\vec{v}\cdot\vec{u}=10-5-4=1.

Passo 4

Cálculo da norma (comprimento) de \vec{u}. A norma é dada por
\|\vec{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.
Com \vec{u}=(2,-1,2):
\|\vec{u}\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3.
Observação rápida: obter uma norma inteira é conveniente porque simplifica a fração final.

Passo 5

Aplicando a fórmula da projeção escalar:
\text{comp}_{\vec{u}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\|\vec{u}\|}=\frac{1}{3}.
Interpretação: como o valor é positivo, a componente de \vec{v} ao longo de \vec{u} está no mesmo sentido de \vec{u}; o comprimento assinado dessa componente é \tfrac{1}{3}.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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