Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores \\overrightarrow{\mathrm{u}}=2 \overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2 \overrightarrow{\mathrm{k}}\ , \overrightarrow{\mathrm{v}}=5 \overrightarrow{\mathrm{i}}+5 \overrightarrow{\mathrm{j}}-2 \mathrm{k}\ e \overrightarrow{\mathrm{w}}=3 \overrightarrow{\mathrm{i}}+6 \overrightarrow{\mathrm{j}}\.
Determine:
A medida algébrica da projeção de \vec{v}\ na direção de \vec{u}.
Determine:
A medida algébrica da projeção de \vec{v}\ na direção de \vec{u}.
Passo 1
O enunciado pede a medida algébrica da projeção de
na direção de
. Dados fornecidos:
Vou usar as componentes dos vetores:
e
.
O que se pede é o comprimento assinado (medida algébrica) da projeção de sobre a direção de
— isto é, o componente escalar de
na direção de
.
O que se pede é o comprimento assinado (medida algébrica) da projeção de
Passo 2
Definição e fórmula que vamos usar. A projeção escalar (medida algébrica) de
sobre
é dada por
Explicando cada termo:
-
é o produto escalar entre e , que mede quanto “aponta” na direção de . -
é o comprimento (norma) de .
O resultado é um número (positivo ou negativo) que indica a magnitude assinada da projeção dena direção de .
Passo 3
Cálculo do produto escalar
. A definição do produto escalar em coordenadas é:
onde
e
são as componentes dos vetores. Usando
e
:
Agora calculamos termo a termo:
Somando:
Passo 4
Cálculo da norma (comprimento) de
. A norma é dada por
Com
:
Observação rápida: obter uma norma inteira é conveniente porque simplifica a fração final.
Passo 5
Aplicando a fórmula da projeção escalar:
Interpretação: como o valor é positivo, a componente de
ao longo de
está no mesmo sentido de
; o comprimento assinado dessa componente é
.