Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores \\overrightarrow{\mathrm{u}}=2 \overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2 \overrightarrow{\mathrm{k}}\ , \overrightarrow{\mathrm{v}}=5 \overrightarrow{\mathrm{i}}+5 \overrightarrow{\mathrm{j}}-2 \mathrm{k}\ e \overrightarrow{\mathrm{w}}=3 \overrightarrow{\mathrm{i}}+6 \overrightarrow{\mathrm{j}}\.
Determine:
O vetor \overrightarrow{\mathrm{c}}, sabendo que seus ângulos diretores são agudos, onde \alpha=60^{\circ}, \beta=45^{\circ} e |\overrightarrow{\mathrm{c}}| = |\overrightarrow{\mathrm{w}}|.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o vetor \overrightarrow{\mathrm{c}} sabendo que seus ângulos diretores são agudos, com \alpha=60^\circ, \beta=45^\circ, e que |\overrightarrow{\mathrm{c}}| = |\overrightarrow{\mathrm{w}}|. As informações dadas no enunciado que vou usar são:
\overrightarrow{\mathrm{u}}=2\overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2\overrightarrow{\mathrm{k}},\qquad \overrightarrow{\mathrm{v}}=5\overrightarrow{\mathrm{i}}+5\overrightarrow{\mathrm{j}}-2\overrightarrow{\mathrm{k}},\qquad \overrightarrow{\mathrm{w}}=3\overrightarrow{\mathrm{i}}+6\overrightarrow{\mathrm{j}}.
Eu peguei a componente de \overrightarrow{\mathrm{w}} diretamente da imagem/linha do enunciado acima: \overrightarrow{\mathrm{w}}=(3,6,0). A tarefa é achar \overrightarrow{\mathrm{c}} sabendo as direções (ângulos com os eixos) e a igualdade de módulo.

Passo 2

Regra importante (o que são ângulos diretores e como usá-los): se \overrightarrow{\mathrm{c}}=(c_x,c_y,c_z) e |\overrightarrow{\mathrm{c}}| é seu módulo, então os cossenos dos ângulos diretores são
\cos\alpha=\frac{c_x}{|\overrightarrow{\mathrm{c}}|},\qquad \cos\beta=\frac{c_y}{|\overrightarrow{\mathrm{c}}|},\qquad \cos\gamma=\frac{c_z}{|\overrightarrow{\mathrm{c}}|}.
Daí decorre a relação fundamental (porque c_x^2+c_y^2+c_z^2=|\overrightarrow{\mathrm{c}}|^2):
\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1.
Vou usar isso para obter \cos\gamma a partir de \cos\alpha e \cos\beta, e depois recuperar as componentes multiplicando pelos módulos.

Passo 3

Calculo os cossenos conhecidos:
\cos\alpha=\cos60^\circ=\tfrac{1}{2},\qquad \cos\beta=\cos45^\circ=\tfrac{\sqrt{2}}{2}.
Agora uso a relação dos quadrados:
\cos^2\gamma=1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta =1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^2-\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 =1-\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}=1-\tfrac{3}{4}=\tfrac{1}{4}.
Como o enunciado diz que os ângulos diretores são agudos, \gamma é agudo e portanto \cos\gamma>0. Logo
\cos\gamma=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Calculo o módulo de \overrightarrow{\mathrm{w}} (peguei \overrightarrow{\mathrm{w}}=(3,6,0) do enunciado):
|\overrightarrow{\mathrm{w}}|=\sqrt{3^2+6^2+0^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}.
Pelo enunciado temos |\overrightarrow{\mathrm{c}}|=|\overrightarrow{\mathrm{w}}|=3\sqrt{5}.

Passo 5

Agora obtenho as componentes de \overrightarrow{\mathrm{c}} usando c_x=|\overrightarrow{\mathrm{c}}|\cos\alpha, c_y=|\overrightarrow{\mathrm{c}}|\cos\beta, c_z=|\overrightarrow{\mathrm{c}}|\cos\gamma:
c_x=3\sqrt{5}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{3\sqrt{5}}{2}, \qquad c_y=3\sqrt{5}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}=\tfrac{3\sqrt{10}}{2}, \qquad c_z=3\sqrt{5}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{3\sqrt{5}}{2}.
Portanto
\overrightarrow{\mathrm{c}}=\left(\tfrac{3\sqrt{5}}{2},\;\tfrac{3\sqrt{10}}{2},\;\tfrac{3\sqrt{5}}{2}\right) = \tfrac{3}{2}\left(\sqrt{5},\;\sqrt{10},\;\sqrt{5}\right).

Passo 6

Cheque rápido (opcional mas bom para prova): verifico que o módulo de \overrightarrow{\mathrm{c}} realmente é 3\sqrt{5}:
\begin{aligned} c_x^2+c_y^2+c_z^2 &=\left(\tfrac{3\sqrt{5}}{2}\right)^2+\left(\tfrac{3\sqrt{10}}{2}\right)^2+\left(\tfrac{3\sqrt{5}}{2}\right)^2 \\\ &=\tfrac{9\cdot5}{4}+\tfrac{9\cdot10}{4}+\tfrac{9\cdot5}{4}=\tfrac{45+90+45}{4}=\tfrac{180}{4}=45, \end{aligned}
logo |\overrightarrow{\mathrm{c}}|=\sqrt{45}=3\sqrt{5}, consistente.

Resposta

\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{c}}=\left(\tfrac{3\sqrt{5}}{2},\;\tfrac{3\sqrt{10}}{2},\;\tfrac{3\sqrt{5}}{2}\right)

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