Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores \\overrightarrow{\mathrm{u}}=2 \overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2 \overrightarrow{\mathrm{k}}\ , \overrightarrow{\mathrm{v}}=5 \overrightarrow{\mathrm{i}}+5 \overrightarrow{\mathrm{j}}-2 \mathrm{k}\ e \overrightarrow{\mathrm{w}}=3 \overrightarrow{\mathrm{i}}+6 \overrightarrow{\mathrm{j}}\.
Determine:
O vetor \overrightarrow{\mathrm{c}}, sabendo que seus ângulos diretores são agudos, onde
e
.
Determine:
O vetor \overrightarrow{\mathrm{c}}, sabendo que seus ângulos diretores são agudos, onde
Passo 1
O enunciado pede para determinar o vetor
sabendo que seus ângulos diretores são agudos, com
,
, e que
. As informações dadas no enunciado que vou usar são:
Eu peguei a componente de
diretamente da imagem/linha do enunciado acima:
. A tarefa é achar
sabendo as direções (ângulos com os eixos) e a igualdade de módulo.
Passo 2
Regra importante (o que são ângulos diretores e como usá-los): se
e
é seu módulo, então os cossenos dos ângulos diretores são
Daí decorre a relação fundamental (porque
):
Vou usar isso para obter
a partir de
e
, e depois recuperar as componentes multiplicando pelos módulos.
Passo 3
Calculo os cossenos conhecidos:
Agora uso a relação dos quadrados:
Como o enunciado diz que os ângulos diretores são agudos,
é agudo e portanto
. Logo
Passo 4
Calculo o módulo de
(peguei
do enunciado):
Pelo enunciado temos
.
Passo 5
Agora obtenho as componentes de
usando
,
,
:
Portanto
Passo 6
Cheque rápido (opcional mas bom para prova): verifico que o módulo de
realmente é
:
logo
, consistente.