Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores \\overrightarrow{\mathrm{u}}=2 \overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2 \overrightarrow{\mathrm{k}}\ , \overrightarrow{\mathrm{v}}=5 \overrightarrow{\mathrm{i}}+5 \overrightarrow{\mathrm{j}}-2 \mathrm{k}\ e \overrightarrow{\mathrm{w}}=3 \overrightarrow{\mathrm{i}}+6 \overrightarrow{\mathrm{j}}\.
Determine:
Uma base ortonormal {\overrightarrow{\mathrm{e}}{1}, \overrightarrow{\mathrm{e}}{2}, \overrightarrow{\mathrm{e}}{3}}, onde \overrightarrow{\mathrm{e}}{1} / / \overrightarrow{\mathrm{u}}.

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede uma base ortonormal \{\overrightarrow{\mathrm{e}}_{1},\overrightarrow{\mathrm{e}}_{2},\overrightarrow{\mathrm{e}}_{3}\} tal que \overrightarrow{\mathrm{e}}_{1} seja paralela a \overrightarrow{\mathrm{u}}. Dados:
\overrightarrow{\mathrm{u}}=(2,\,-1,\,2), \qquad \overrightarrow{\mathrm{v}}=(5,\,5,\,-2), \qquad \overrightarrow{\mathrm{w}}=(3,\,6,\,0).
Pergunta clara: construa três vetores ortonormais formando uma base de \mathbb{R}^{3} com \overrightarrow{\mathrm{e}}_{1}//\overrightarrow{\mathrm{u}}. Nada mais é pedido.

Passo 2

Primeiro passo prático: definir \overrightarrow{\mathrm{e}}_{1} como o vetor unitário na direção de \overrightarrow{\mathrm{u}}. Conceito rápido: normalizar significa dividir o vetor pelo seu comprimento (norma). A norma de \overrightarrow{\mathrm{u}} é
\|\overrightarrow{\mathrm{u}}\|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3.
Portanto o vetor unitário paralelo a \overrightarrow{\mathrm{u}} é
\overrightarrow{\mathrm{e}}_{1}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{u}}}{\|\overrightarrow{\mathrm{u}}\|} =\frac{1}{3}(2,\,-1,\,2)=\left(\frac{2}{3},\,-\frac{1}{3},\,\frac{2}{3}\right).
Dica prática para prova: sempre calcule primeiro \|\overrightarrow{\mathrm{u}}\|^{2} (aqui deu 9) — economiza tempo.

Passo 3

Agora precisamos de \overrightarrow{\mathrm{e}}_{2} ortogonal a \overrightarrow{\mathrm{e}}_{1} e unitário. Uma estratégia comum é aplicar Gram–Schmidt a \overrightarrow{\mathrm{v}} e \overrightarrow{\mathrm{w}}. Mas antes de começar a projetar, verifique se algum dos dois já é ortogonal a \overrightarrow{\mathrm{e}}_{1} — isso simplifica MUITO o trabalho. Calcule o produto interno \overrightarrow{\mathrm{w}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{e}}_{1}:
\overrightarrow{\mathrm{w}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{e}}_{1} =3\cdot\frac{2}{3}+6\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)+0\cdot\frac{2}{3} =2-2+0=0.
Como o produto interno é zero, \overrightarrow{\mathrm{w}} já é ortogonal a \overrightarrow{\mathrm{e}}_{1}. Aproveitamos isso: basta normalizar \overrightarrow{\mathrm{w}} para obter \overrightarrow{\mathrm{e}}_{2}.
Calcule a norma de \overrightarrow{\mathrm{w}}:
\|\overrightarrow{\mathrm{w}}\|=\sqrt{3^{2}+6^{2}+0^{2}}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}.
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\overrightarrow{\mathrm{e}}_{2}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{w}}}{\|\overrightarrow{\mathrm{w}}\|} =\frac{1}{3\sqrt{5}}(3,\,6,\,0)=\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\,\frac{2}{\sqrt{5}},\,0\right).
Explicação curta: escolher um vetor já ortogonal economiza projeções. Sempre cheque produtos internos antes de Gram–Schmidt.

Passo 4

Para \overrightarrow{\mathrm{e}}_{3} precisamos de um vetor unitário ortogonal a \overrightarrow{\mathrm{e}}_{1} e \overrightarrow{\mathrm{e}}_{2}. Uma maneira direta e confiável em \mathbb{R}^{3} é usar o produto vetorial:
conceito: se \overrightarrow{a} e \overrightarrow{b} são unitários e ortogonais, então \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} é unitário e ortogonal a ambos (direção dada pela regra da mão direita). Portanto tomamos
\overrightarrow{\mathrm{e}}_{3}=\overrightarrow{\mathrm{e}}_{1}\times\overrightarrow{\mathrm{e}}_{2}.
Vamos calcular componente a componente. Use a fórmula
\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}= \bigl(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},\;a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},\;a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\bigr).
Com \overrightarrow{\mathrm{e}}_{1}=\left(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right) e \overrightarrow{\mathrm{e}}_{2}=\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}},0\right) temos
\begin{aligned} (\overrightarrow{\mathrm{e}}_{1}\times\overrightarrow{\mathrm{e}}_{2})_{1} &= \left(-\frac{1}{3}\right)\cdot 0 - \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{4}{3\sqrt{5}},\\[4pt] (\overrightarrow{\mathrm{e}}_{1}\times\overrightarrow{\mathrm{e}}_{2})_{2} &= \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{2}{3}\cdot 0 = \frac{2}{3\sqrt{5}},\\[4pt] (\overrightarrow{\mathrm{e}}_{1}\times\overrightarrow{\mathrm{e}}_{2})_{3} &= \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}} - \left(-\frac{1}{3}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{4+1}{3\sqrt{5}}=\frac{5}{3\sqrt{5}}. \end{aligned}
Assim
\overrightarrow{\mathrm{e}}_{3}=\left(-\frac{4}{3\sqrt{5}},\;\frac{2}{3\sqrt{5}},\;\frac{5}{3\sqrt{5}}\right).
Comentário: como \overrightarrow{\mathrm{e}}_{1} e \overrightarrow{\mathrm{e}}_{2} são unitários e ortogonais, o produto vetorial já dá um vetor unitário — não é preciso normalizar de novo. (Se não tivesse certeza, poderia calcular a norma para confirmar.)]

Passo 5

Verificações rápidas (ideia para a prova): confirme ortogonalidade fazendo produtos internos:
\overrightarrow{\mathrm{e}}_{1}\cdot\overrightarrow{\mathrm{e}}_{2}=0,\qquad \overrightarrow{\mathrm{e}}_{1}\cdot\overrightarrow{\mathrm{e}}_{3}=0,\qquad \overrightarrow{\mathrm{e}}_{2}\cdot\overrightarrow{\mathrm{e}}_{3}=0,
e normas iguais a 1. Já usamos essas propriedades na construção — vale fazer mentalmente as contas para ganhar confiança. Pronto: temos uma base ortonormal.

Resposta

\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{e}}_{1}=\left(\frac{2}{3},\,-\frac{1}{3},\,\frac{2}{3}\right)
\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{e}}_{2}=\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\,\frac{2}{\sqrt{5}},\,0\right)
\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{e}}_{3}=\left(-\frac{4}{3\sqrt{5}},\,\frac{2}{3\sqrt{5}},\,\frac{5}{3\sqrt{5}}\right)

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