Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores \\overrightarrow{\mathrm{u}}=2 \overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2 \overrightarrow{\mathrm{k}}\ , \overrightarrow{\mathrm{v}}=5 \overrightarrow{\mathrm{i}}+5 \overrightarrow{\mathrm{j}}-2 \mathrm{k}\ e \overrightarrow{\mathrm{w}}=3 \overrightarrow{\mathrm{i}}+6 \overrightarrow{\mathrm{j}}\.
Determine:
Uma base ortonormal {\overrightarrow{\mathrm{e}}{1}, \overrightarrow{\mathrm{e}}{2}, \overrightarrow{\mathrm{e}}{3}}, onde \overrightarrow{\mathrm{e}}{1} / / \overrightarrow{\mathrm{u}}.
Determine:
Uma base ortonormal {\overrightarrow{\mathrm{e}}{1}, \overrightarrow{\mathrm{e}}{2}, \overrightarrow{\mathrm{e}}{3}}, onde \overrightarrow{\mathrm{e}}{1} / / \overrightarrow{\mathrm{u}}.
Passo 1
O enunciado dá três vetores e pede uma base ortonormal
tal que
seja paralela a
. Dados:
Pergunta clara: construa três vetores ortonormais formando uma base de
com
. Nada mais é pedido.
Passo 2
Primeiro passo prático: definir
como o vetor unitário na direção de
. Conceito rápido: normalizar significa dividir o vetor pelo seu comprimento (norma). A norma de
é
Portanto o vetor unitário paralelo a
é
Dica prática para prova: sempre calcule primeiro
(aqui deu
) — economiza tempo.
Passo 3
Agora precisamos de
ortogonal a
e unitário. Uma estratégia comum é aplicar Gram–Schmidt a
e
. Mas antes de começar a projetar, verifique se algum dos dois já é ortogonal a
— isso simplifica MUITO o trabalho. Calcule o produto interno
:
Como o produto interno é zero,
já é ortogonal a
. Aproveitamos isso: basta normalizar
para obter
.
Calcule a norma de
:
Logo
Explicação curta: escolher um vetor já ortogonal economiza projeções. Sempre cheque produtos internos antes de Gram–Schmidt.
Passo 4
Para
precisamos de um vetor unitário ortogonal a
e
. Uma maneira direta e confiável em
é usar o produto vetorial:
conceito: se e
são unitários e ortogonais, então
é unitário e ortogonal a ambos (direção dada pela regra da mão direita). Portanto tomamos
conceito: se
Vamos calcular componente a componente. Use a fórmula
Com
e
temos
Assim
Comentário: como
e
são unitários e ortogonais, o produto vetorial já dá um vetor unitário — não é preciso normalizar de novo. (Se não tivesse certeza, poderia calcular a norma para confirmar.)]
Passo 5
Verificações rápidas (ideia para a prova): confirme ortogonalidade fazendo produtos internos:
e normas iguais a
. Já usamos essas propriedades na construção — vale fazer mentalmente as contas para ganhar confiança. Pronto: temos uma base ortonormal.