Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores \\overrightarrow{\mathrm{u}}=2 \overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2 \overrightarrow{\mathrm{k}}\ , \overrightarrow{\mathrm{v}}=5 \overrightarrow{\mathrm{i}}+5 \overrightarrow{\mathrm{j}}-2 \mathrm{k}\ e \overrightarrow{\mathrm{w}}=3 \overrightarrow{\mathrm{i}}+6 \overrightarrow{\mathrm{j}}\.
Determine:
Uma base positiva {\vec{f}{1}, \vec{f}{2}, \vec{f}{3}}, onde \vec{f}{1}=\vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede uma base positiva \{\vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3}\} tal que \vec{f}_{1}=\vec{v}.
Dados fornecidos:
\vec{u}=2\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k}, \qquad \vec{v}=5\vec{i}+5\vec{j}-2\vec{k}, \qquad \vec{w}=3\vec{i}+6\vec{j}.
O que é pedido:
  • Encontrar vetores \vec{f}_{2} e \vec{f}_{3} (dado que \vec{f}_{1}=\vec{v}) que formem com \vec{v} uma base de \mathbb{R}^3 e que essa base seja positiva (orientação positiva).

Passo 2

O que significa “base” e “base positiva” (explicação didática e prática):
  • Uma coleção de três vetores em \mathbb{R}^3 forma uma base se for linearmente independente, isto é, se o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores for diferente de zero.
  • A orientação (positiva/negativa) é dada pelo sinal desse determinante: se o determinante for maior que zero a base é positiva; se for menor que zero a base é negativa. Geometricamente, o valor absoluto do determinante é o volume assinado do paralelepípedo gerado pelos três vetores; o sinal indica a orientação.
  • Portanto, para testar uma escolha \{\vec{v},\vec{f}_2,\vec{f}_3\} basta montar a matriz com colunas \vec{v},\vec{f}_2,\vec{f}_3 e calcular seu determinante. Se \det>0 a base é positiva e é válida.

Passo 3

Tentativa natural: usar \vec{f}_2=\vec{u} e \vec{f}_3=\vec{w}. Vamos testar linearidade e orientação calculando o determinante da matriz com colunas \vec{v},\vec{u},\vec{w}.
Escrevendo as colunas (extraí os componentes diretamente dos vetores dados):
A=\begin{pmatrix} 5 & 2 & 3\\[4pt] 5 & -1 & 6\\[4pt] -2 & 2 & 0 \end{pmatrix},
onde a primeira coluna é \vec{v}, a segunda \vec{u} e a terceira \vec{w}.]

Passo 4

Calcular o determinante de A usando a regra de Sarrus (fácil e confiável para 3\times3). Para uma matriz
\begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix}
temos
\det = aei + bfg + cdh - (ceg + bdi + afh).
Aplicando em A:
  • Produtos das diagonais principais:
5\cdot(-1)\cdot 0 \;+\; 2\cdot 6\cdot(-2) \;+\; 3\cdot 5\cdot 2 = 0 \;+\; 2\cdot(-12) \;+\; 30 = -24 + 30 = 6.
  • Produtos das diagonais secundárias:
3\cdot(-1)\cdot(-2) \;+\; 5\cdot 6\cdot 2 \;+\; 2\cdot 5\cdot 0 = 3\cdot 2 \;+\; 60 \;+\; 0 = 6 + 60 = 66.
  • Portanto
\det(A) = 6 - 66 = -60.
Interpretação: \det(A)=-60\neq 0, logo \{\vec{v},\vec{u},\vec{w}\} é uma base (linearmente independente), mas como o determinante é negativo, a base tem orientação negativa.

Passo 5

Como queremos uma base positiva e já temos \vec{f}_1=\vec{v}, uma forma simples de obter orientação positiva é trocar de ordem dois vetores entre \vec{f}_2 e \vec{f}_3; trocar dois vetores muda o sinal do determinante. Assim, ao considerar a ordem \{\vec{v},\vec{w},\vec{u}\} o determinante será -\det(A)=60>0.
Logo \{\vec{v},\vec{w},\vec{u}\} é:
  • uma base (determinante diferente de zero),
  • com orientação positiva (determinante =60>0).

Passo 6

Concluir a escolha final e escrever os vetores na forma pedida (usando os vetores dados):
\vec{f}_1=\vec{v}=5\vec{i}+5\vec{j}-2\vec{k}, \qquad \vec{f}_2=\vec{w}=3\vec{i}+6\vec{j}+0\vec{k}, \qquad \vec{f}_3=\vec{u}=2\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k}.
Estas escolhas satisfazem \vec{f}_1=\vec{v}, formam uma base de \mathbb{R}^3 (determinante =60) e têm orientação positiva.

Resposta

\vec{f}_1=5\vec{i}+5\vec{j}-2\vec{k}
\vec{f}_2=3\vec{i}+6\vec{j}
\vec{f}_3=2\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k}

Exercícios relacionados