Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores \\overrightarrow{\mathrm{u}}=2 \overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2 \overrightarrow{\mathrm{k}}\ , \overrightarrow{\mathrm{v}}=5 \overrightarrow{\mathrm{i}}+5 \overrightarrow{\mathrm{j}}-2 \mathrm{k}\ e \overrightarrow{\mathrm{w}}=3 \overrightarrow{\mathrm{i}}+6 \overrightarrow{\mathrm{j}}\.
Determine:
Uma base positiva {\vec{f}{1}, \vec{f}{2}, \vec{f}{3}}, onde \vec{f}{1}=\vec{v}.
Passo 1
O enunciado dá três vetores e pede uma base positiva \{\vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3}\} tal que \vec{f}_{1}=\vec{v}.
Encontrar vetores \vec{f}_{2} e \vec{f}_{3} (dado que \vec{f}_{1}=\vec{v}) que formem com \vec{v} uma base de \mathbb{R}^3 e que essa base seja positiva (orientação positiva).
Passo 2
O que significa “base” e “base positiva” (explicação didática e prática):
Uma coleção de três vetores em \mathbb{R}^3 forma uma base se for linearmente independente, isto é, se o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores for diferente de zero.
A orientação (positiva/negativa) é dada pelo sinal desse determinante: se o determinante for maior que zero a base é positiva; se for menor que zero a base é negativa. Geometricamente, o valor absoluto do determinante é o volume assinado do paralelepípedo gerado pelos três vetores; o sinal indica a orientação.
Portanto, para testar uma escolha \{\vec{v},\vec{f}_2,\vec{f}_3\} basta montar a matriz com colunas \vec{v},\vec{f}_2,\vec{f}_3 e calcular seu determinante. Se \det>0 a base é positiva e é válida.
Passo 3
Tentativa natural: usar \vec{f}_2=\vec{u} e \vec{f}_3=\vec{w}. Vamos testar linearidade e orientação calculando o determinante da matriz com colunas \vec{v},\vec{u},\vec{w}.
Escrevendo as colunas (extraí os componentes diretamente dos vetores dados):
Interpretação: \det(A)=-60\neq 0, logo \{\vec{v},\vec{u},\vec{w}\} é uma base (linearmente independente), mas como o determinante é negativo, a base tem orientação negativa.
Passo 5
Como queremos uma base positiva e já temos \vec{f}_1=\vec{v}, uma forma simples de obter orientação positiva é trocar de ordem dois vetores entre \vec{f}_2 e \vec{f}_3; trocar dois vetores muda o sinal do determinante. Assim, ao considerar a ordem \{\vec{v},\vec{w},\vec{u}\} o determinante será -\det(A)=60>0.
Logo \{\vec{v},\vec{w},\vec{u}\} é:
uma base (determinante diferente de zero),
com orientação positiva (determinante =60>0).
Passo 6
Concluir a escolha final e escrever os vetores na forma pedida (usando os vetores dados):