Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores \\overrightarrow{\mathrm{u}}=2 \overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2 \overrightarrow{\mathrm{k}}\ , \overrightarrow{\mathrm{v}}=5 \overrightarrow{\mathrm{i}}+5 \overrightarrow{\mathrm{j}}-2 \mathrm{k}\ e \overrightarrow{\mathrm{w}}=3 \overrightarrow{\mathrm{i}}+6 \overrightarrow{\mathrm{j}}\.
Determine:
\overrightarrow{\mathrm{v}} \times \overrightarrow{\mathrm{w}}

Passo 1

O exercício pede para calcular o produto vetorial \overrightarrow{\mathrm{v}} \times \overrightarrow{\mathrm{w}}. \n
As informações dadas (peguei do enunciado) são os vetores
\overrightarrow{\mathrm{v}}=5\overrightarrow{\mathrm{i}}+5\overrightarrow{\mathrm{j}}-2\overrightarrow{\mathrm{k}}
\overrightarrow{\mathrm{w}}=3\overrightarrow{\mathrm{i}}+6\overrightarrow{\mathrm{j}}+0\overrightarrow{\mathrm{k}}

Passo 2

O que é o produto vetorial (cross product)? Vou explicar rapidinho e de forma prática: \n
  • O produto vetorial \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} é um vetor perpendicular a \overrightarrow{a} e a \overrightarrow{b}. \n
  • O comprimento de \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} é a área do paralelogramo gerado por \overrightarrow{a} e \overrightarrow{b}. \n
  • A direção é dada pela regra da mão direita (sentido orientado). \n
    Na prática, para calcular coordenadas usamos uma fórmula explícita (vem já já).

Passo 3

Fórmula prática: se \overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3) e \overrightarrow{w}=(w_1,w_2,w_3), então
\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}= \big(v_2w_3-v_3w_2\big)\overrightarrow{\mathrm{i}}+ \big(v_3w_1-v_1w_3\big)\overrightarrow{\mathrm{j}}+ \big(v_1w_2-v_2w_1\big)\overrightarrow{\mathrm{k}}.
Explico cada termo: por exemplo o coeficiente de \overrightarrow{\mathrm{i}} é a diferença entre o produto dos componentes cruzados v_2w_3 e v_3w_2. A fórmula pode ser vista como a expansão do determinante
\begin{vmatrix} \overrightarrow{\mathrm{i}} & \overrightarrow{\mathrm{j}} & \overrightarrow{\mathrm{k}}\\\ v_1 & v_2 & v_3\\\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix},
mas usar a versão componente-a-componente evita decorar o determinante.

Passo 4

Identifico as componentes dos vetores dados:
v_1=5,\quad v_2=5,\quad v_3=-2,
w_1=3,\quad w_2=6,\quad w_3=0.

Passo 5

Calculo o coeficiente do vetor \overrightarrow{\mathrm{i}}:
v_2w_3-v_3w_2=5\cdot 0 - (-2)\cdot 6 = 0 + 12 = 12.

Passo 6

Calculo o coeficiente do vetor \overrightarrow{\mathrm{j}}:
v_3w_1-v_1w_3 = (-2)\cdot 3 - 5\cdot 0 = -6 - 0 = -6.
(Observação: na fórmula o termo do meio aparece com sinal positivo quando escrito na forma que usei; algumas versões escrevem com sinal negativo explicito, por isso atenção ao sinal — aqui já considerei corretamente.)

Passo 7

Calculo o coeficiente do vetor \overrightarrow{\mathrm{k}}:
v_1w_2-v_2w_1 = 5\cdot 6 - 5\cdot 3 = 30 - 15 = 15.

Passo 8

Monto o vetor resultante juntando os coeficientes:
\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}=12\overrightarrow{\mathrm{i}}-6\overrightarrow{\mathrm{j}}+15\overrightarrow{\mathrm{k}}.
Como checagem rápida (útil na prova): verifique que esse resultado é perpendicular a ambos: \overrightarrow{v}\cdot(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w})=5\cdot 12 +5\cdot(-6)+(-2)\cdot 15=60-30-30=0 e \overrightarrow{w}\cdot(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w})=3\cdot12+6\cdot(-6)+0\cdot15=36-36+0=0. Zero significa perpendicular, então a resposta faz sentido.

Resposta

\overrightarrow{\mathrm{v}} \times \overrightarrow{\mathrm{w}}=12\overrightarrow{\mathrm{i}}-6\overrightarrow{\mathrm{j}}+15\overrightarrow{\mathrm{k}}

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