Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores \\overrightarrow{\mathrm{u}}=2 \overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2 \overrightarrow{\mathrm{k}}\ , \overrightarrow{\mathrm{v}}=5 \overrightarrow{\mathrm{i}}+5 \overrightarrow{\mathrm{j}}-2 \mathrm{k}\ e \overrightarrow{\mathrm{w}}=3 \overrightarrow{\mathrm{i}}+6 \overrightarrow{\mathrm{j}}\.
Determine:
\overrightarrow{\mathrm{v}} \times \overrightarrow{\mathrm{w}}
Passo 1
O exercício pede para calcular o produto vetorial \overrightarrow{\mathrm{v}} \times \overrightarrow{\mathrm{w}}. \n
As informações dadas (peguei do enunciado) são os vetores
Explico cada termo: por exemplo o coeficiente de \overrightarrow{\mathrm{i}} é a diferença entre o produto dos componentes cruzados v_2w_3 e v_3w_2. A fórmula pode ser vista como a expansão do determinante
(Observação: na fórmula o termo do meio aparece com sinal positivo quando escrito na forma que usei; algumas versões escrevem com sinal negativo explicito, por isso atenção ao sinal — aqui já considerei corretamente.)
Passo 7
Calculo o coeficiente do vetor \overrightarrow{\mathrm{k}}:
Como checagem rápida (útil na prova): verifique que esse resultado é perpendicular a ambos: \overrightarrow{v}\cdot(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w})=5\cdot 12 +5\cdot(-6)+(-2)\cdot 15=60-30-30=0 e \overrightarrow{w}\cdot(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w})=3\cdot12+6\cdot(-6)+0\cdot15=36-36+0=0. Zero significa perpendicular, então a resposta faz sentido.