Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores \\overrightarrow{\mathrm{u}}=2 \overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2 \overrightarrow{\mathrm{k}}\ , \overrightarrow{\mathrm{v}}=5 \overrightarrow{\mathrm{i}}+5 \overrightarrow{\mathrm{j}}-2 \mathrm{k}\ e \overrightarrow{\mathrm{w}}=3 \overrightarrow{\mathrm{i}}+6 \overrightarrow{\mathrm{j}}\.
Determine:
O vetor \vec{d}\ , tal que \vec{d} \times \vec{u}=\vec{o}\ e \vec{d} \cdot \vec{v}=-2.

Passo 1

O enunciado pede o vetor \vec{d} tal que duas condições são satisfeitas simultaneamente:
\vec{d}\times\vec{u}=\vec{o}
e
\vec{d}\cdot\vec{v}=-2.
As informações dadas (vou listar explicitamente):
\vec{u}=2\overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2\overrightarrow{\mathrm{k}}, \qquad \vec{v}=5\overrightarrow{\mathrm{i}}+5\overrightarrow{\mathrm{j}}-2\overrightarrow{\mathrm{k}}.
Nenhuma outra informação (por exemplo \vec{w}) é necessária para resolver este item.

Passo 2

Entendendo a primeira condição \vec{d}\times\vec{u}=\vec{o}.
Mini-aula sobre produto vetorial e o que significa ser o vetor nulo:
  • O produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} é um vetor perpendicular a \vec{a} e a \vec{b}. Seu módulo vale |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}.
  • Se \vec{a}\times\vec{b}=\vec{o}, então o módulo é zero, logo |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta=0. Supondo que nenhum dos vetores é o vetor nulo, isto implica \sin\theta=0, ou seja, \theta=0^\circ ou \theta=180^\circ: os vetores são colineares (paralelos, possivelmente em sentidos opostos).
  • Conclusão prática: se \vec{u}\neq\vec{o} e \vec{d}\times\vec{u}=\vec{o}, então \vec{d} é múltiplo escalar de \vec{u}. Podemos escrever
\vec{d}=t\,\vec{u}
para algum escalar t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Usando a forma \vec{d}=t\,\vec{u}, traduzimos a segunda condição ( \vec{d}\cdot\vec{v}=-2) em termos de t.
Mini-aula sobre produto escalar:
  • O produto escalar de dois vetores \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) é \vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
  • Ele satisfaz a propriedade (\lambda\vec{a})\cdot\vec{b}=\lambda(\vec{a}\cdot\vec{b}) para todo escalar \lambda.
    Aplicando aqui:
\vec{d}\cdot\vec{v}=(t\vec{u})\cdot\vec{v}=t(\vec{u}\cdot\vec{v}).
Portanto a condição \vec{d}\cdot\vec{v}=-2 vira
t(\vec{u}\cdot\vec{v})=-2.

Passo 4

Calcular \vec{u}\cdot\vec{v} usando as componentes dadas.
Primeiro escrevo as componentes explicitamente:
\vec{u}=(2,-1,2),\qquad \vec{v}=(5,5,-2).
Agora o produto escalar:
\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot5+(-1)\cdot5+2\cdot(-2).
Faço as contas passo a passo:
2\cdot5=10,\qquad (-1)\cdot5=-5,\qquad 2\cdot(-2)=-4.
Somando:
\vec{u}\cdot\vec{v}=10-5-4=1.

Passo 5

Volto à equação do passo 3:
t(\vec{u}\cdot\vec{v})=-2.
Como \vec{u}\cdot\vec{v}=1, temos
t\cdot 1=-2 \quad\Rightarrow\quad t=-2.

Passo 6

Achar \vec{d} a partir de t.
Usando \vec{d}=t\,\vec{u} e t=-2:
\vec{d}=-2\,\vec{u}=-2\bigl(2\overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2\overrightarrow{\mathrm{k}}\bigr).
Multiplicando componente a componente:
\vec{d}=-4\overrightarrow{\mathrm{i}}+2\overrightarrow{\mathrm{j}}-4\overrightarrow{\mathrm{k}}.

Passo 7

Verificação rápida (pra ganhar confiança):
  • Como \vec{d} é múltiplo de \vec{u}, o produto vetorial \vec{d}\times\vec{u} é \vec{o} (confirmado pela teoria).
  • Verificando o produto escalar:
\vec{d}\cdot\vec{v}=(-4)\cdot5+2\cdot5+(-4)\cdot(-2)=-20+10+8=-2,
que é justamente o exigido.

Resposta

\vec{d}=-4\overrightarrow{\mathrm{i}}+2\overrightarrow{\mathrm{j}}-4\overrightarrow{\mathrm{k}}

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