Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores \\overrightarrow{\mathrm{u}}=2 \overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2 \overrightarrow{\mathrm{k}}\ , \overrightarrow{\mathrm{v}}=5 \overrightarrow{\mathrm{i}}+5 \overrightarrow{\mathrm{j}}-2 \mathrm{k}\ e \overrightarrow{\mathrm{w}}=3 \overrightarrow{\mathrm{i}}+6 \overrightarrow{\mathrm{j}}\.
Determine:
O vetor \vec{d}\ , tal que \vec{d} \times \vec{u}=\vec{o}\ e \vec{d} \cdot \vec{v}=-2.
Determine:
O vetor \vec{d}\ , tal que \vec{d} \times \vec{u}=\vec{o}\ e \vec{d} \cdot \vec{v}=-2.
Passo 1
O enunciado pede o vetor
tal que duas condições são satisfeitas simultaneamente:
e
As informações dadas (vou listar explicitamente):
Nenhuma outra informação (por exemplo
) é necessária para resolver este item.
Passo 2
Entendendo a primeira condição
.
Mini-aula sobre produto vetorial e o que significa ser o vetor nulo:
- O produto vetorial
é um vetor perpendicular a e a . Seu módulo vale , onde é o ângulo entre e . - Se
, então o módulo é zero, logo . Supondo que nenhum dos vetores é o vetor nulo, isto implica , ou seja, ou : os vetores são colineares (paralelos, possivelmente em sentidos opostos). - Conclusão prática: se
e , então é múltiplo escalar de . Podemos escrever
para algum escalar
.
Passo 3
Usando a forma
, traduzimos a segunda condição (
) em termos de
.
Mini-aula sobre produto escalar:
- O produto escalar de dois vetores
e é . - Ele satisfaz a propriedade
para todo escalar .
Aplicando aqui:
Portanto a condição
vira
Passo 4
Calcular
usando as componentes dadas.
Primeiro escrevo as componentes explicitamente:
Agora o produto escalar:
Faço as contas passo a passo:
Somando:
Passo 5
Volto à equação do passo 3:
Como
, temos
Passo 6
Achar
a partir de
.
Usando
e
:
Multiplicando componente a componente:
Passo 7
Verificação rápida (pra ganhar confiança):
- Como
é múltiplo de , o produto vetorial é (confirmado pela teoria). - Verificando o produto escalar:
que é justamente o exigido.