Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores
u=2 imath-jmath+2 k, v=5 imath+5 jmath-2 k e
w=3 imath+6 jmath
Determine:
Uma base ortonormal e1, e2, e3, onde e1 / / u ou Uma base positiva f1, f2, f3, onde f1=v

Passo 1

O enunciado dá os vetores
u = 2imath - jmath + 2k, v = 5imath + 5jmath - 2k, w = 3imath + 6jmath
e pede uma base ortonormal e1,e2,e3 com e1 paralelo a u. Vamos usar o processo de Gram–Schmidt, escolhendo u como geradora de e1 e w para obter e2, pois w já é ortogonal a u.

Passo 2

Normalizamos u para obter
e1 = u|u| com |u| = raiz2^2 + (-1)^2 + 2^2 = 3
Logo
e1 = 13(2,,-1,,2) = l(tfrac23,,-tfrac13,,tfrac23r)

Passo 3

Verificamos que wcdot e1=0, logo w já é ortogonal a e1. Normalizando w = (3,6,0) temos
|w| = raiz3^2 + 6^2 + 0^2 = raiz45 = 3raiz5,
então
e2 = w|w| = 13raiz5(3,6,0) = l(tfrac1raiz5,,tfrac2raiz5,,0r)

Passo 4

Definimos e3 pelo produto vetorial de e1 e e2, garantindo base ortonormal e mão direita:
e3 = e1times e2 = l(-tfrac43raiz5,,tfrac23raiz5,,tfrac53raiz5r)
Calcula-se facilmente que |e3|=1 e que e1,e2,e3 forma base ortonormal positiva.

Resposta

e1 = l(tfrac23,,-tfrac13,,tfrac23r), e2 = l(tfrac1raiz5,,tfrac2raiz5,,0r), e3 = l(-tfrac43raiz5,,tfrac23raiz5,,tfrac53raiz5r)

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