Exiba, se possível, os exemplos abaixo. Se impossível, justifique.
a) Uma base do espaço que contenha os vetores (1,-2,3) e (-2,4,6).
b) Três vetores L.I. que não formem uma base do espaço.
c) Um vetor não nulo, paralelo a u=(1,0,2) e ortogonal a w=(-1,2,3).

Passo 1

O enunciado trabalha em R^3 e pede:
– (a) uma base de R^3 que contenha os vetores (1,-2,3) e (-2,4,6);
– (b) três vetores linearmente independentes que não formem base de R^3;
– (c) um vetor não nulo paralelo a vec u=(1,0,2) e ortogonal a vec w=(-1,2,3).
Vamos usar os conceitos de linearidade, dimensão, completamento de base e produto escalar.

Passo 2

Para (a) primeiro verificamos se
v1=(1,-2,3), v2=(-2,4,6)
são linearmente independentes. Suponha
alpha,v1+beta,v2=0;Longrightarrow; (alpha-2beta,,-2alpha+4beta,;3alpha+6beta)=(0,0,0)
Isso gera o sistema
alpha-2beta=0, -2alpha+4beta=0, 3alpha+6beta=0
As duas primeiras equações são equivalentes e forçam alpha=2beta; inserindo na terceira temos 3(2beta)+6beta=12beta=0, logo beta=0 e alpha=0. Portanto v1,v2 são LI e podemos completá-los a uma base de R^3 escolhendo um v3 que não esteja no plano gerado por eles. Um exemplo simples é
v3=(0,1,0),
pois o determinante da matriz cujas colunas são v1,v2,v3 é
det 1 & -2 & 0 -2& 4 & 1 3 & 6 & 0 =-12neq0,
logo v1,v2,v3 é base.

Passo 3

Em R^3 a dimensão é 3. Qualquer conjunto de três vetores linearmente independentes em um espaço de dimensão 3 gera todo o espaço e, portanto, é base. Logo é impossível ter três vetores LI em R^3 que não formem base.

Passo 4

Para (c), um vetor paralelo a vec u=(1,0,2) é da forma
v=a,(1,0,2)=(a,0,2a)
Para ser ortogonal a vec w=(-1,2,3) precisamos
vcdot w=(a,0,2a)cdot(-1,2,3)=-a+0+6a=5a=0;Longrightarrow;a=0
Isso dá v=(0,0,0), ou seja, só o vetor nulo satisfaz ambas as condições. Como o exercício pede vetor não nulo, não existe tal vetor.

Resposta

a) Por exemplo
l(1,-2,3),,(-2,4,6),,(0,1,0)r
b) Impossível, pois em R^3 três vetores LI formam sempre uma base.
c) Impossível, pois a única solução paralela a (1,0,2) e ortogonal a (-1,2,3) é o vetor nulo.

Exercícios relacionados