Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores
u=2 imath-jmath+2 k, v=5 imath+5 jmath-2 k e
w=3 imath+6 jmath
Verifique se os vetores são L.D. em cada item abaixo:
u, v e w.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
u=(2,,-1,,2), v=(5,,5,,-2), w=(3,,6,,0),
e pede para verificar se eles são linearmente dependentes (L.D.). Como são três vetores em R^3, podemos usar o critério do determinante: eles são L.D. se, e somente se, o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores for zero.

Passo 2

Formamos a matriz A com u,v,w como colunas:
A = 2 & 5 & 3 -1 & 5 & 6 2 & -2 & 0

Passo 3

Calculamos det(A) por expansão na primeira linha:
det(A) =2det5&6-2&0 -5det-1&62&0 +3det-1&52&-2
Agora cada menor:
det5&6-2&0 =5cdot0 - 6cdot(-2)=12,
det-1&62&0 =(-1)cdot0 - 6cdot2 = -12,
det-1&52&-2 =(-1)cdot(-2) - 5cdot2 = 2 -10 = -8
Substituindo:
det(A)=2cdot12 ;-;5cdot(-12);+;3cdot(-8) =24 +60 -24 =60

Passo 4

Como det(A)=60neq0, a única solução para xu+yv+zw=0 é x=y=z=0. Logo os vetores não são L.D., mas sim L.I.

Resposta

Não. Os vetores são linearmente independentes.

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