Questão 1. (8pts) Considere os vetores e no .
(a) Verifique se os vetores e são combinação linear de e (Sugestão: os dois podem ser verificados simultaneamente)
(b) Observando a solução no item (a), é LI? Se puder ser escrito como combinação linear dos demais, escreva uma combinação linear de que resulta em
(c) Encontre uma base e a dimensão do subespaço de
(d) Use o POGS para obter uma base OG a partir da base obtida em (c).
Passo 1
O enunciado dá quatro vetores em :
Pede-se:
(a) verificar se e são combinações lineares de ;
(b) checar se é LI e, em caso negativo, expressar como combinação de ;
(c) achar base e dimensão do subespaço
(d) usar o POGS (Gram–Schmidt) para obter uma base ortonormal da base de (c).
Passo 2
Para (a) escrevemos
e montamos a matriz aumentada para os dois vetores e :
Eliminando, chega-se a duas equações independentes
a-2b-2c+d=1, -b+4c-d=-4,
compatíveis para W1 e inconsistentes para W2.
Logo W1 é combinação (há solução infinita) e W2 não o é.
Tomando c=lambda, d=mu, obtém-se para W1:
b=4lambda-mu+4, a=9+10lambda-3mu
Passo 3
Para (b), procuramos alpha,beta tais que
alpha(1,2,0)+beta(-2,-5,1)=(-2,0,-4)
Da componente z vem beta=-4. Da componente x vem alpha-2beta=-2impliesalpha=-10, e a componente y confere.
Assim
V3=-10,V1-4,V2,
logo V1,V2,V3 é linearmente dependente.
Passo 4
Em (c) notamos que
W =spanV1,V2,V3,V4
Pela eliminação de Gauss os vetores-pivô são V1,V2.
Portanto uma base de W é
V1,V2=(1,2,0),,(-2,-5,1),
e dimW=2.
Passo 5
Para (d) aplicamos o Processo de Ortogonalização de Gram–Schmidt à base V1,V2: