Questão 1. (8pts) Considere os vetores V1=(1,2,0), V2=(-2,-5,1), V3=(-2,0,-4) e V4=(1,1,1) no R^3.
(a) Verifique se os vetores W1=(1,-2,4) e W2=(2,-1,4) são combinação linear de V1, V2, V3 e V4 (Sugestão: os dois podem ser verificados simultaneamente)
(b) Observando a solução no item (a), V1, V2, V3 é LI? Se V3 puder ser escrito como combinação linear dos demais, escreva uma combinação linear de V1, V2 que resulta em V3
(c) Encontre uma base e a dimensão do subespaço de R^3
W=(a-2 b-2 c+d, 2 a-5 b+d, b-4 c+d) in R^3 ; a, b, c, d in R
(d) Use o POGS para obter uma base OG a partir da base obtida em (c).

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em R^3:
V1=(1,2,0), V2=(-2,-5,1), V3=(-2,0,-4), V4=(1,1,1)
Pede-se:
(a) verificar se W1=(1,-2,4) e W2=(2,-1,4) são combinações lineares de V1,V2,V3,V4;
(b) checar se V1,V2,V3 é LI e, em caso negativo, expressar V3 como combinação de V1,V2;
(c) achar base e dimensão do subespaço
W=(a-2b-2c+d,;2a-5b+d,;b-4c+d);|;a,b,c,dinR;
(d) usar o POGS (Gram–Schmidt) para obter uma base ortonormal da base de (c).

Passo 2

Para (a) escrevemos
aV1+bV2+cV3+dV4 =(a-2b-2c+d,;2a-5b+d,;b-4c+d)
e montamos a matriz aumentada para os dois vetores W1 e W2:
1 & -2 & -2 & 1 & 1 & 2 2 & -5 & 0 & 1 & -2& -1 0 & 1 & -4 & 1 & 4 & 4
Eliminando, chega-se a duas equações independentes
a-2b-2c+d=1, -b+4c-d=-4,
compatíveis para W1 e inconsistentes para W2.
Logo W1 é combinação (há solução infinita) e W2 não o é.
Tomando c=lambda, d=mu, obtém-se para W1:
b=4lambda-mu+4, a=9+10lambda-3mu

Passo 3

Para (b), procuramos alpha,beta tais que
alpha(1,2,0)+beta(-2,-5,1)=(-2,0,-4)
Da componente z vem beta=-4. Da componente x vem alpha-2beta=-2impliesalpha=-10, e a componente y confere.
Assim
V3=-10,V1-4,V2,
logo V1,V2,V3 é linearmente dependente.

Passo 4

Em (c) notamos que
W =spanV1,V2,V3,V4
Pela eliminação de Gauss os vetores-pivô são V1,V2.
Portanto uma base de W é
V1,V2=(1,2,0),,(-2,-5,1),
e dimW=2.

Passo 5

Para (d) aplicamos o Processo de Ortogonalização de Gram–Schmidt à base V1,V2:
u1=V1=(1,2,0),
e1=u1|u1| =l(tfrac1raiz5,tfrac2raiz5,0r)
Calculamos
proju1V2 =lang<= V2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 =-125(1,2,0),
u2=V2-proju1V2 =(2/5,,-1/5,,1) longrightarrow (2,-1,5) (escalado),
e2=(2,-1,5)raiz30 =l(tfrac2raiz30,-tfrac1raiz30,tfrac5raiz30r)
A base ortonormal resultante é e1,e2.

Resposta

(a) W1 pertence ao span V1,V2,V3,V4 (infinitas soluções); W2 não.
(b) V1,V2,V3 é LD e
V3=-10V1-4V2
(c) Uma base de W é (1,2,0),(-2,-5,1) e dimW=2.
(d) Uma base ortonormal é
e1=l(tfrac1raiz5,tfrac2raiz5,0r), e2=l(tfrac2raiz30,-tfrac1raiz30,tfrac5raiz30r)

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