Exercícios: Dada a função z=\frac{|x|+|y|}{x} encontrar:
a) A imagem do ponto ( 1 / a, a ), a \in R_{+}^{*}
b) D(f)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
z = f(x,y) = \frac{\lvert x\rvert + \lvert y\rvert}{x}
e pede:
a) a imagem de \bigl(x,y\bigr)=\bigl(\tfrac1a,a\bigr) com a\in\mathbb{R}_+^*;
b) o domínio D(f).
Para resolver vamos usar que o valor absoluto é definido por
\lvert t\rvert = \begin{cases} t, & t\ge0,\\\\ -\,t, & t<0, \end{cases}
e lembrar que a divisão só existe se o denominador for não nulo.

Passo 2

Como a>0, temos \tfrac1a>0 e a>0. Logo
\lvert x\rvert = x = \tfrac1a, \quad \lvert y\rvert = y = a
quando (x,y)=(\tfrac1a,a). Então
f\Bigl(\tfrac1a,a\Bigr) = \frac{\lvert\tfrac1a\rvert + \lvert a\rvert}{\tfrac1a} = \frac{\tfrac1a + a}{\tfrac1a} = \bigl(\tfrac1a + a\bigr)\cdot a = 1 + a^2.

Passo 3

Para que f(x,y) esteja bem definida, só é preciso que o denominador x seja diferente de zero, já que \lvert x\rvert e \lvert y\rvert existem para todo x,y\in\mathbb{R}. Portanto
D(f) = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x \neq 0\}.

Resposta

a) f\bigl(\tfrac1a,a\bigr)=1+a^2.
b) D(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\neq0\}.

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