Exercícios: Esboçar o gráfico das funções:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
O enunciado pede para esboçarmos seis superfícies em
:
(a) , (b)
, (c)
, (d)
, (e)
e (f)
.
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: vamos classificar cada superfície (paraboloide, hiperbolóide, plano, etc.), estudar seus traços e descrever qualitativamente o esboço de cada uma.
(a)
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: vamos classificar cada superfície (paraboloide, hiperbolóide, plano, etc.), estudar seus traços e descrever qualitativamente o esboço de cada uma.
Passo 2
Para (a)
:
- Reconhecemos a diferença de quadrados: é um paraboloide hiperbólico (superfície em sela).
- Traços horizontais
são curvas , ou seja, hipérboles centradas na origem, com eixos trocando de direções conforme muda de sinal. - Traço em plano
é (uma parábola aberta para cima) e em é (parábola aberta para baixo). - Esboço: em direção do eixo
a superfície abre para cima; em direção do eixo abre para baixo, formando uma sela.
Passo 3
Para (b)
:
- É um paraboloide elíptico invertido com vértice em
. - Traços horizontais
são elipses , que diminuem de tamanho conforme aumenta até , e desaparecem para . - Traços em planos coordenados: em
a curva é (parábola invertida) e em é . - Esboço: “taça” invertida, aberta para baixo, cortar em altura
num ponto.
Passo 4
Para (c)
:
- É um plano paralelo ao plano
, deslocado para cima até . - Todo ponto de coordenada
no plano gera o ponto . - Esboço: retângulo (ou todo o plano) à altura
.
Passo 5
Para (d)
:
- É um plano paralelo ao plano
, fixo em . - Variando
livremente, obtemos uma lâmina vertical “perpendicular” ao eixo . - Esboço: retângulo (ou todo o plano) cortando o eixo
em .
Passo 6
Para (e)
:
- É um plano paralelo ao plano
, fixo em . - Variando
livremente, obtemos outra lâmina vertical, perpendicular ao eixo . - Esboço: retângulo (ou todo o plano) cortando o eixo
em .
Passo 7
Para (f)
:
- É um plano vertical que contém o eixo
e a reta diagonal do plano . - Em coordenadas, qualquer ponto é
, variando . - Esboço: lâmina inclinada em
no plano horizontal, estendendo-se verticalmente.
Resposta
a) Paraboloide hiperbólico (“sela”) definido por
.
b) Paraboloide elíptico invertido com vértice em .
c) Plano horizontal em .
d) Plano vertical paralelo a em
.
e) Plano vertical paralelo a em
.
f) Plano vertical que contém a reta no plano
, estendendo-se ao longo de
.
b) Paraboloide elíptico invertido com vértice em
c) Plano horizontal em
d) Plano vertical paralelo a
e) Plano vertical paralelo a
f) Plano vertical que contém a reta