Exercícios: Esboçar o gráfico das funções:
a) f(x, y)=y^{2}-x^{2}
b) z=4-x^{2}-4 y^{2}
c) z=2
d) x=3
e) y=1
f) y=x

Passo 1

O enunciado pede para esboçarmos seis superfícies em \mathbb{R}^3:
(a) z = y^2 - x^2, (b) z = 4 - x^2 - 4y^2, (c) z = 2, (d) x = 3, (e) y = 1 e (f) y = x.
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: vamos classificar cada superfície (paraboloide, hiperbolóide, plano, etc.), estudar seus traços e descrever qualitativamente o esboço de cada uma.

Passo 2

Para (a) z = y^2 - x^2:
  1. Reconhecemos a diferença de quadrados: é um paraboloide hiperbólico (superfície em sela).
  2. Traços horizontais z=c são curvas y^2 - x^2 = c, ou seja, hipérboles centradas na origem, com eixos trocando de direções conforme c muda de sinal.
  3. Traço em plano x=0 é z = y^2 (uma parábola aberta para cima) e em y=0 é z = -x^2 (parábola aberta para baixo).
  4. Esboço: em direção do eixo y a superfície abre para cima; em direção do eixo x abre para baixo, formando uma sela.

Passo 3

Para (b) z = 4 - x^2 - 4y^2:
  1. É um paraboloide elíptico invertido com vértice em (0,0,4).
  2. Traços horizontais z=c são elipses x^2 + 4y^2 = 4 - c, que diminuem de tamanho conforme c aumenta até 4, e desaparecem para c>4.
  3. Traços em planos coordenados: em x=0 a curva é z = 4 - 4y^2 (parábola invertida) e em y=0 é z = 4 - x^2.
  4. Esboço: “taça” invertida, aberta para baixo, cortar em altura z=4 num ponto.

Passo 4

Para (c) z = 2:
  1. É um plano paralelo ao plano xy, deslocado para cima até z=2.
  2. Todo ponto de coordenada (x,y) no plano xy gera o ponto (x,y,2).
  3. Esboço: retângulo (ou todo o plano) à altura z=2.

Passo 5

Para (d) x = 3:
  1. É um plano paralelo ao plano yz, fixo em x=3.
  2. Variando (y,z) livremente, obtemos uma lâmina vertical “perpendicular” ao eixo x.
  3. Esboço: retângulo (ou todo o plano) cortando o eixo x em 3.

Passo 6

Para (e) y = 1:
  1. É um plano paralelo ao plano xz, fixo em y=1.
  2. Variando (x,z) livremente, obtemos outra lâmina vertical, perpendicular ao eixo y.
  3. Esboço: retângulo (ou todo o plano) cortando o eixo y em 1.

Passo 7

Para (f) y = x:
  1. É um plano vertical que contém o eixo z e a reta diagonal do plano xy.
  2. Em coordenadas, qualquer ponto é (t,t,z), variando t,z\in\mathbb{R}.
  3. Esboço: lâmina inclinada em 45\circ no plano horizontal, estendendo-se verticalmente.

Resposta

a) Paraboloide hiperbólico (“sela”) definido por z=y^2 - x^2.
b) Paraboloide elíptico invertido com vértice em (0,0,4).
c) Plano horizontal em z=2.
d) Plano vertical paralelo a yz em x=3.
e) Plano vertical paralelo a xz em y=1.
f) Plano vertical que contém a reta y=x no plano xy, estendendo-se ao longo de z.

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