Exercícios: Discutir a continuidade das seguintes funções:
g(x, y)=\frac{x+y+1}{x^{2} y+x^{2}-3 x y-3 x+2 y+2}

Passo 1

O enunciado pede para discutir a continuidade da função
g(x,y)=\frac{x+y+1}{x^{2}y+x^{2}-3xy-3x+2y+2}.
Isso envolve reconhecer que g é um quociente de polinômios em duas variáveis e, portanto, estará definida e contínua sempre que o denominador for diferente de zero.

Passo 2

Uma função dada pelo quociente de dois polinômios é contínua em todo ponto em que o polinômio do denominador não se anula. Logo, basta encontrar o conjunto de zeros do denominador para identificar onde g é indefinida (e, portanto, descontínua).

Passo 3

Fatorando o denominador, temos
x^{2}y+x^{2}-3xy-3x+2y+2 = x^{2}(y+1)-3x(y+1)+2(y+1) = (y+1)(x^{2}-3x+2) = (y+1)(x-1)(x-2).

Passo 4

O denominador zera sempre que (y+1)(x-1)(x-2)=0, isto é, nas retas
y=-1,\quad x=1,\quad x=2.
Portanto:
  • g é contínua em todo ponto (x,y) tal que (y+1)(x-1)(x-2)\neq0.
  • g é indefinida (e descontínua) sempre que y=-1 ou x=1 ou x=2.

Resposta

g é contínua em
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\neq1,\;x\neq2,\;y\neq-1\}
e descontínua nas retas x=1, x=2 e y=-1.

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