Exercicios: Derivadas parciais, Incrementos e Diferenciais
Calcule as derivadas parciais primeiras de
.
Calcule as derivadas parciais primeiras de
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais primeiras da função $ f(r, s, t) = r^{2} e^{2 s} \cos(t) $. Estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais, que é uma parte do cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar uma função que depende de mais de uma variável, tratando as outras variáveis como constantes em cada passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma derivada parcial em relação a uma variável específica significa que tratamos todas as outras variáveis como constantes. Então, para encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ r $, vamos derivar $ f $ considerando $ s $ e $ t $ como constantes.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ r $:
Como $ e^{2 s} $ e $ \cos(t) $ são constantes em relação a $ r $, aplicamos a regra da potência:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ s $. Desta vez, trataremos $ r $ e $ t $ como constantes.
Aqui, $ r^{2} $ e $ \cos(t) $ são constantes, e a derivada de $ e^{2 s} $ em relação a $ s $ é $ 2 e^{2 s} $:
Passo 5
Por último, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ t $, tratando $ r $ e $ s $ como constantes.
Aqui, $ r^{2} e^{2 s} $ são constantes, e a derivada de $ \cos(t) $ em relação a $ t $ é $ -\sin(t) $:
Resposta
As derivadas parciais primeiras de $ f(r, s, t) = r^{2} e^{2 s} \cos(t) $ são: