Em um experimento, um caminhante aleatório realiza
passos, onde a probabilidade de cada passo ser para a direita é
e para a esquerda é
. Considerando que o deslocamento total do caminhante após
passos é dado por
, onde
é a diferença entre o número de passos para a direita
e o número de passos para a esquerda
, e
metro é o comprimento de cada passo, determine:
a - O valor médio do deslocamento
.
b-A variância
do deslocamento.
c - O desvio relativo
para esse deslocamento.
a - O valor médio do deslocamento
b-A variância
c - O desvio relativo
Passo 1
O enunciado descreve um caminhar aleatório de N=20 passos, com probabilidade p=0,6 de ir para a direita e q=0,4 de ir para a esquerda. O deslocamento total é x = m·l, onde m = N₁–N₂ e l = 1 m. Para resolver, vamos usar propriedades da distribuição binomial para N₁ (número de passos à direita): E[N₁]=Np e Var(N₁)=Npq.
Passo 2
Para encontrar o valor médio do deslocamento, note que m = 2N₁–N. Logo E[m] = 2E[N₁]–N = 2Np–N. Como l=1 m, temos
Substituindo N=20 e p=0,6:
Passo 3
A variância de x é Var(x) = Var(m)·l². Como m = 2N₁–N, temos Var(m) = 4Var(N₁) = 4Np q. Então
Passo 4
O desvio relativo é dado por σ_x/⟨x⟩, onde σ_x = \sqrt{Var(x)} = \sqrt{19{,}2}. Então
Resposta
a)
m
b) m²
c)
b)
c)