Em um experimento, um caminhante aleatório realiza N=20 passos, onde a probabilidade de cada passo ser para a direita é p=0,6 e para a esquerda é q=0,4. Considerando que o deslocamento total do caminhante após N passos é dado por x=m cdot l, onde m=N1-N2 é a diferença entre o número de passos para a direita N1 e o número de passos para a esquerda N2, e l=1 metro é o comprimento de cada passo, determine:
a - O valor médio do deslocamento lang<= xrang<=.
b-A variância lang<=De do deslocamento.
c - O desvio relativo para esse deslocamento.

Passo 1

O enunciado descreve um caminhar aleatório de N=20 passos, com probabilidade p=0,6 de ir para a direita e q=0,4 de ir para a esquerda. O deslocamento total é x = m·l, onde m = N₁–N₂ e l = 1 m. Para resolver, vamos usar propriedades da distribuição binomial para N₁ (número de passos à direita): E[N₁]=Np e Var(N₁)=Npq.

Passo 2

Para encontrar o valor médio do deslocamento, note que m = 2N₁–N. Logo E[m] = 2E[N₁]–N = 2Np–N. Como l=1 m, temos
lang<= xrang<= = lang<= mrang<=,l = (2Np - N) times 1
Substituindo N=20 e p=0,6:
lang<= xrang<= = 2times20times0,6 - 20 = 24 - 20 = 4 m

Passo 3

A variância de x é Var(x) = Var(m)·l². Como m = 2N₁–N, temos Var(m) = 4Var(N₁) = 4Np q. Então
Var(x) = 4Np q times 1^2 = 4times20times0,6times0,4 = 19,2,m^2

Passo 4

O desvio relativo é dado por σ_x/⟨x⟩, onde σ_x = \sqrt{Var(x)} = \sqrt{19{,}2}. Então
lang<=De

Resposta

a) lang<= xrang<= = 4 m
b) Var(x) = 19,2
c) dfraclang<=De

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