Exercicios: Derivadas parciais, Incrementos e Diferenciais
As dimensões de uma caixa retangular de 9 de comprimento, 6 de largura e 4 de altura pode variar para 9.02 de comprimento, 5.97 de largura e 4.01 de altura
a) Obter uma variação da área de superficie e volume
b) Qual é a variação exata da área de superficie e do volume?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma caixa retangular com dimensões iniciais de 9 de comprimento, 6 de largura e 4 de altura. Essas dimensões mudam ligeiramente para 9.02, 5.97 e 4.01, respectivamente. O que a gente vai fazer aqui envolve derivadas parciais, incrementos e diferenciais para encontrar como essas pequenas mudanças afetam a área de superfície e o volume da caixa. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de área de superfície e volume de um paralelepípedo, e aplicar as derivadas parciais para estimar as variações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as fórmulas que vamos usar:
  • Volume (V) de uma caixa retangular é dado por:
    V = l times w times h
    onde $ l $ é o comprimento, $ w $ é a largura e $ h $ é a altura.
  • Área de superfície (S) é:
    l
Agora, como as dimensões estão mudando um pouquinho, queremos ver como essas mudanças afetam o volume e a área de superfície. Para isso, usamos diferenciais, que são como aproximações das variações.

Passo 3

Vamos calcular primeiro a variação aproximada (dV e dS) usando diferenciais.
Para o volume:
dV = partial Vpartial l cdot dl + partial Vpartial w cdot dw + partial Vpartial h cdot dh
Calculando as derivadas parciais:
partial Vpartial l = w times h = 6 times 4 = 24
partial Vpartial w = l times h = 9 times 4 = 36
partial Vpartial h = l times w = 9 times 6 = 54
Então:
dV = 24 cdot 0.02 + 36 cdot (-0.03) + 54 cdot 0.01 = 0.48 - 1.08 + 0.54 = -0.06
Portanto, a variação aproximada no volume é -0.06 unidades.
Para a área de superfície:
dS = 2( partial (lw)partial l cdot dl + partial (lh)partial l cdot dl + partial (wh)partial w cdot dw + partial (lh)partial h cdot dh + partial (wh)partial h cdot dh )
Simplificando:
dS = 2(w cdot dl + l cdot dw + h cdot dl + l cdot dh + w cdot dh)
Substituindo os valores:
dS = 2(6 cdot 0.02 + 9 cdot (-0.03) + 4 cdot 0.02 + 9 cdot 0.01 + 6 cdot 0.01) = 2(0.12 - 0.27 + 0.08 + 0.09 + 0.06) = 2(0.08) = 0.16
Então, a variação aproximada na área de superfície é +0.16 unidades.

Passo 4

Agora, vamos calcular a variação exata (ΔV e ΔS).
Para o volume exato:
De
Calculando:
Voriginal = 9 times 6 times 4 = 216
Vnovo = 9.02 times 5.97 times 4.01 approx 9 times 6 times 4 + pequenas variações = 216 + algo çõ
Mas para precisão, vamos calcular exatamente:
9.02 times 5.97 = 53.8594
53.8594 times 4.01 approx 216 + (0.02 times 6 times 4) + (9 times -0.03 times 4) + (9 times 6 times 0.01) = 216 - 0.48 + 0.54 approx 216.06
Então:
De
Para a área de superfície exata:
De
Calculando:
Soriginal = 2(54 + 36 + 24) = 2 times 114 = 228
Snovo approx 2(54 + pequenas variações) = 228 + algo çõ
Fazendo os cálculos exatos:
9.02 times 5.97 approx 53.8594
9.02 times 4.01 approx 36.0802
5.97 times 4.01 approx 23.9497
Snovo = 2(53.8594 + 36.0802 + 23.9497) approx 2(113.8893) approx 227.7786
Então:
De

Resposta

a) A variação aproximada da área de superfície é +0.16 unidades e do volume é -0.06 unidades.
b) A variação exata da área de superfície é aproximadamente -0.22 unidades e do volume é +0.06 unidades.

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