Exercicios: Derivadas parciais, Incrementos e Diferenciais
As dimensões de uma caixa retangular de 9 de comprimento, 6 de largura e 4 de altura pode variar para 9.02 de comprimento, 5.97 de largura e 4.01 de altura
a) Obter uma variação da área de superficie e volume
b) Qual é a variação exata da área de superficie e do volume?
As dimensões de uma caixa retangular de 9 de comprimento, 6 de largura e 4 de altura pode variar para 9.02 de comprimento, 5.97 de largura e 4.01 de altura
a) Obter uma variação da área de superficie e volume
b) Qual é a variação exata da área de superficie e do volume?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma caixa retangular com dimensões iniciais de 9 de comprimento, 6 de largura e 4 de altura. Essas dimensões mudam ligeiramente para 9.02, 5.97 e 4.01, respectivamente. O que a gente vai fazer aqui envolve derivadas parciais, incrementos e diferenciais para encontrar como essas pequenas mudanças afetam a área de superfície e o volume da caixa. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de área de superfície e volume de um paralelepípedo, e aplicar as derivadas parciais para estimar as variações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as fórmulas que vamos usar:
-
Volume (V) de uma caixa retangular é dado por:onde $ l $ é o comprimento, $ w $ é a largura e $ h $ é a altura.
-
Área de superfície (S) é:
Agora, como as dimensões estão mudando um pouquinho, queremos ver como essas mudanças afetam o volume e a área de superfície. Para isso, usamos diferenciais, que são como aproximações das variações.
Passo 3
Vamos calcular primeiro a variação aproximada (dV e dS) usando diferenciais.
Para o volume:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Portanto, a variação aproximada no volume é -0.06 unidades.
Para a área de superfície:
Simplificando:
Substituindo os valores:
Então, a variação aproximada na área de superfície é +0.16 unidades.
Passo 4
Agora, vamos calcular a variação exata (ΔV e ΔS).
Para o volume exato:
Calculando:
Mas para precisão, vamos calcular exatamente:
Então:
Para a área de superfície exata:
Calculando:
Fazendo os cálculos exatos:
Então:
Resposta
a) A variação aproximada da área de superfície é +0.16 unidades e do volume é -0.06 unidades.
b) A variação exata da área de superfície é aproximadamente -0.22 unidades e do volume é +0.06 unidades.