Exercicios: Derivadas parciais, Incrementos e Diferenciais
Use
para provar que
é diferenciável em
Use
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de cálculo que fala sobre derivadas parciais, incrementos e diferenciais. A ideia aqui é usar um limite que envolve as variações em $ x $, $ y $ e $ z $ para mostrar que a função $ w = f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} $ é diferenciável no ponto $ (0,0,0) $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e como aplicar esse limite para provar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Basicamente, uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por um plano tangente nesse ponto. Isso envolve calcular as derivadas parciais da função em relação a cada variável naquele ponto.
Passo 3
No nosso caso, a função é $ w = x^{2} + y^{2} + z^{2} $. Vamos calcular as derivadas parciais em $ (0,0,0) $:
Então, todas as derivadas parciais no ponto $ (0,0,0) $ são iguais a zero.
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite dado:
Substituindo $ f_{x}(0,0,0) $, $ f_{y}(0,0,0) $ e $ f_{z}(0,0,0) $ por zero, o limite fica:
Passo 5
Vamos calcular $ \Delta w $, que é a variação da função $ w $ quando $ x, y, z $ mudam para $ x + \Delta x, y + \Delta y, z + \Delta z $:
Passo 6
No ponto $ (0,0,0) $, $ x = y = z = 0 $, então:
Passo 7
Substituindo $ \Delta w $ no limite, temos:
Isso pode ser simplificado dividindo cada termo no numerador pela raiz no denominador:
Passo 8
Como o limite é igual a zero, isso confirma que a função $ w = x^{2} + y^{2} + z^{2} $ é diferenciável no ponto $ (0,0,0) $.
Resposta
Portanto, usando o limite fornecido, demonstramos que $ w = x^{2} + y^{2} + z^{2} $ é diferenciável em $ (0,0,0) $.