Exercicios: Derivadas parciais, Incrementos e Diferenciais
Scja
a) Se
e
são incrementos de
e
, calcular
b) Ache expressões para
e
c) Calcule o diferencial
d) Calcule o erro entre
e
e) Qual a variação de
se
varia de
para
Scja
a) Se
b) Ache expressões para
c) Calcule o diferencial
d) Calcule o erro entre
e) Qual a variação de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, $ w = f(x, y) = 5y^{2} - xy $. O conteúdo envolve derivadas parciais, incrementos e diferenciais. Para resolver as partes do exercício, vamos precisar entender como calcular incrementos, diferenciais e erros aproximados usando derivadas parciais.
Passo 2
Parte a) Primeiro, vamos calcular o incremento de $ w $, que é $ \Delta w $. O incremento de uma função $ w = f(x, y) $ quando $ x $ muda de $ x $ para $ x + \Delta x $ e $ y $ muda de $ y $ para $ y + \Delta y $ é dado por:
Vamos aplicar isso na nossa função $ w = 5y^{2} - xy $:
Passo 3
Vamos expandir os termos:
Simplificando:
Então, temos:
Passo 4
Parte b) Agora, vamos achar as expressões para $ \varepsilon_{1} $ e $ \varepsilon_{2} $. Normalmente, essas representam os erros relativos nas variáveis $ x $ e $ y $. Vamos definir:
Essas expressões mostram a variação relativa de $ x $ e $ y $ em relação aos seus valores originais.
Passo 5
Parte c) Vamos calcular o diferencial $ dw $. O diferencial de $ w $ em relação a $ x $ e $ y $ é dado por:
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
Então:
Passo 6
Parte d) Agora, vamos calcular o erro entre $ dw $ e $ \Delta w $. O erro é dado pela diferença:
Utilizando a expressão de $ \Delta w $ que obtivemos anteriormente:
Simplificando, vemos que os termos lineares se cancelam, ficando:
Esse erro representa os termos de ordem superior que foram ignorados na aproximação linear $ dw $.
Passo 7
Parte e) Vamos calcular a variação de $ w $ quando $ (x, y) $ varia de $ (-2, 3) $ para $ (-2.02, 3.01) $. Ou seja, $ \Delta x = -2.02 - (-2) = -0.02 $ e $ \Delta y = 3.01 - 3 = 0.01 $.
Primeiro, calculamos $ dw $:
Substituindo $ x = -2 $ e $ y = 3 $:
Agora, calculamos $ \Delta w $ usando a expressão da parte a):
Resposta
A variação de $ w $ quando $ (x, y) $ muda de $ (-2, 3) $ para $ (-2.02, 3.01) $ é aproximadamente $ \Delta w = 0.3807 $.