Exercicios: Derivadas parciais, Incrementos e Diferenciais
Scja w=f(x, y)=5 y^2-x y
a) Se De e De são incrementos de x e y, calcular De
b) Ache expressões para varepsilon1 e varepsilon2
c) Calcule o diferencial d w
d) Calcule o erro entre d w e De
e) Qual a variação de w se (x, y) varia de (-2,3) para (-2.02,3.01)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, $ w = f(x, y) = 5y^{2} - xy $. O conteúdo envolve derivadas parciais, incrementos e diferenciais. Para resolver as partes do exercício, vamos precisar entender como calcular incrementos, diferenciais e erros aproximados usando derivadas parciais.

Passo 2

Parte a) Primeiro, vamos calcular o incremento de $ w $, que é $ \Delta w $. O incremento de uma função $ w = f(x, y) $ quando $ x $ muda de $ x $ para $ x + \Delta x $ e $ y $ muda de $ y $ para $ y + \Delta y $ é dado por:
w
Vamos aplicar isso na nossa função $ w = 5y^{2} - xy $:
De

Passo 3

Vamos expandir os termos:
De
Simplificando:
De
Então, temos:
De

Passo 4

Parte b) Agora, vamos achar as expressões para $ \varepsilon_{1} $ e $ \varepsilon_{2} $. Normalmente, essas representam os erros relativos nas variáveis $ x $ e $ y $. Vamos definir:
varepsilon1
Essas expressões mostram a variação relativa de $ x $ e $ y $ em relação aos seus valores originais.

Passo 5

Parte c) Vamos calcular o diferencial $ dw $. O diferencial de $ w $ em relação a $ x $ e $ y $ é dado por:
dw
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
w
Então:
x

Passo 6

Parte d) Agora, vamos calcular o erro entre $ dw $ e $ \Delta w $. O erro é dado pela diferença:
dw
Utilizando a expressão de $ \Delta w $ que obtivemos anteriormente:
De
Simplificando, vemos que os termos lineares se cancelam, ficando:
Erro = De
Esse erro representa os termos de ordem superior que foram ignorados na aproximação linear $ dw $.

Passo 7

Parte e) Vamos calcular a variação de $ w $ quando $ (x, y) $ varia de $ (-2, 3) $ para $ (-2.02, 3.01) $. Ou seja, $ \Delta x = -2.02 - (-2) = -0.02 $ e $ \Delta y = 3.01 - 3 = 0.01 $.
Primeiro, calculamos $ dw $:
w
Substituindo $ x = -2 $ e $ y = 3 $:
(x, y)
Agora, calculamos $ \Delta w $ usando a expressão da parte a):
(-2, 3)

Resposta

A variação de $ w $ quando $ (x, y) $ muda de $ (-2, 3) $ para $ (-2.02, 3.01) $ é aproximadamente $ \Delta w = 0.3807 $.

Exercícios relacionados