Nos exercícios 1. a 6. derive a função (se possível, simplifique antes e/ou depois de derivar).
f(x)=\left[x+\left(x+\sin ^{2} x\right)^{3}\right]^{4}

Passo 1

O que o enunciado pede: derivar a função
f(x)=\left[x+\left(x+\sin^{2}x\right)^{3}\right]^{4}.
Informações dadas: a expressão explícita de f(x). Objetivo final: encontrar f'(x). Nada mais é pedido.

Passo 2

Vamos simplificar a escrita usando uma substituição intermediária para não nos perder nas regras de derivação. Defina
u(x)=x+\left(x+\sin^{2}x\right)^{3},
então
f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{4}.
Agora aplicamos a regra de derivação de uma função composta de forma genérica: se f(x)=h(g(x)) então
f'(x)=h'\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x).
Aqui podemos ver h(t)=t^{4} e g(x)=u(x). A derivada de h é h'(t)=4t^{3}. Portanto, pela regra acima,
f'(x)=4\bigl(u(x)\bigr)^{3}\,u'(x).
Explicando: multiplicamos pela derivada do “externo” avaliado no interno e depois multiplicamos pela derivada do interno. É a famosa “regra da cadeia”.

Passo 3

Agora precisamos calcular u'(x). Relembre que
u(x)=x+\bigl(v(x)\bigr)^{3}\quad\text{com}\quad v(x)=x+\sin^{2}x.
A derivada de u é a soma da derivada de x com a derivada de \bigl(v(x)\bigr)^{3}. Usando a regra da potência composta (outra aplicação da regra da cadeia): se w(x)=\bigl(v(x)\bigr)^{3} então
w'(x)=3\bigl(v(x)\bigr)^{2}\,v'(x).
Portanto
u'(x)=1+3\bigl(v(x)\bigr)^{2}\,v'(x).

Passo 4

Calcule v'(x) onde v(x)=x+\sin^{2}x. A derivada de x é 1. Para \sin^{2}x podemos ver como \bigl(\sin x\bigr)^{2} e aplicar a regra da cadeia: se r(x)=\bigl(\sin x\bigr)^{2} então
r'(x)=2\sin x\cdot\frac{d}{dx}(\sin x)=2\sin x\cos x.
Portanto
v'(x)=1+2\sin x\cos x.
Observação útil: 2\sin x\cos x=\sin(2x), então alternativamente v'(x)=1+\sin(2x). Vou manter a forma 2\sin x\cos x por clareza do passo-a-passo.

Passo 5

Voltemos para u'(x). Substituindo v(x)=x+\sin^{2}x e v'(x)=1+2\sin x\cos x em
u'(x)=1+3\bigl(v(x)\bigr)^{2}\,v'(x),
obtemos
u'(x)=1+3\bigl(x+\sin^{2}x\bigr)^{2}\bigl(1+2\sin x\cos x\bigr).
Podemos também escrever essa expressão usando \sin(2x) como
u'(x)=1+3\bigl(x+\sin^{2}x\bigr)^{2}\bigl(1+\sin(2x)\bigr),
se quiser uma forma trigonométrica mais compacta.

Passo 6

Agora juntamos tudo para escrever f'(x). Lembrando que
f'(x)=4\bigl(u(x)\bigr)^{3}\,u'(x)
e substituindo u(x)=x+\bigl(x+\sin^{2}x\bigr)^{3} e u'(x) do passo anterior, obtemos a derivada final:
f'(x)=4\left[x+\left(x+\sin^{2}x\right)^{3}\right]^{3}\left(1+3\left(x+\sin^{2}x\right)^{2}\left(1+2\sin x\cos x\right)\right).
Se preferir a forma com \sin(2x),
f'(x)=4\left[x+\left(x+\sin^{2}x\right)^{3}\right]^{3}\left(1+3\left(x+\sin^{2}x\right)^{2}\left(1+\sin(2x)\right)\right).

Resposta

f'(x)=4\left[x+\left(x+\sin^{2}x\right)^{3}\right]^{3}\left(1+3\left(x+\sin^{2}x\right)^{2}\left(1+2\sin x\cos x\right)\right)

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