Nos exercícios 1. a 6. derive a função (se possível, simplifique antes e/ou depois de derivar).
Passo 1
O que o enunciado pede: derivar a função
Informações dadas: a expressão explícita de
. Objetivo final: encontrar
. Nada mais é pedido.
Passo 2
Vamos simplificar a escrita usando uma substituição intermediária para não nos perder nas regras de derivação. Defina
então
Agora aplicamos a regra de derivação de uma função composta de forma genérica: se
então
Aqui podemos ver
e
. A derivada de
é
. Portanto, pela regra acima,
Explicando: multiplicamos pela derivada do “externo” avaliado no interno e depois multiplicamos pela derivada do interno. É a famosa “regra da cadeia”.
Passo 3
Agora precisamos calcular
. Relembre que
A derivada de
é a soma da derivada de
com a derivada de
. Usando a regra da potência composta (outra aplicação da regra da cadeia): se
então
Portanto
Passo 4
Calcule
onde
. A derivada de
é
. Para
podemos ver como
e aplicar a regra da cadeia: se
então
Portanto
Observação útil:
, então alternativamente
. Vou manter a forma
por clareza do passo-a-passo.
Passo 5
Voltemos para
. Substituindo
e
em
obtemos
Podemos também escrever essa expressão usando
como
se quiser uma forma trigonométrica mais compacta.
Passo 6
Agora juntamos tudo para escrever
. Lembrando que
e substituindo
e
do passo anterior, obtemos a derivada final:
Se preferir a forma com
,