Nos exercícios, determine os extremantes da função f.
f(x)=2 x^{2}-8 x+11

Passo 1

Estamos com a função quadrática
f(x)=2x^{2}-8x+11
que é um polinômio de grau 2 (parábola que abre para cima, pois o coeficiente de x^2 é positivo). Para achar possíveis extremos faremos o teste da primeira e da segunda derivada.

Passo 2

Calculemos a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x^{2}-8x+11\bigr)=4x-8.

Passo 3

Encontramos o ponto crítico resolvendo
f'(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad 4x-8=0 \quad\Longrightarrow\quad x=2.

Passo 4

Para classificar esse ponto, usamos a segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}(4x-8)=4.
Como f''(2)=4>0, a função é côncava para cima em x=2, mostrando que ali temos um mínimo.

Passo 5

O valor mínimo é
f(2)=2\cdot2^{2}-8\cdot2+11=8-16+11=3.

Resposta

O único extremo é um mínimo no ponto (2,3).

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