a. Calcule a média, a mediana, a moda e o ponto médio das seguintes rendas anuais (em dólares) de médicos autônomos (com base em dados da American Medical Association): \begin{array}{lllll}108.000 & 236.000 & 179.000 & 206.000 & 236.000\end{array}
b. Se se adiciona um valor constante k a cada renda, como são afetados os resultados da parte (a)?
Se os valores das rendas na parte (a) são multiplicados por uma constante k, como são afetados os resultados da parte (a)?
d. As vezes os dados săo transformados, substituindo-se cada valor x por \log x. Para os valores dados de x, determine se a média dos valores de \log x é igual a \log \bar{x}.

Passo 1

O enunciado pede várias estatísticas calculadas sobre as rendas anuais (em dólares) dos médicos autônomos e depois investiga como essas estatísticas mudam sob transformações. Os pedidos são:
  • (a) Calcular a média, a mediana, a moda e o ponto médio (midrange) do conjunto de dados
  • (b) Determinar o efeito de adicionar uma constante k a cada renda
  • (c) (implícito) Determinar o efeito de multiplicar cada renda por uma constante k
  • (d) Verificar se a média dos \log x é igual a \log \bar{x} para os dados dados
Dados fornecidos (peguei-os do enunciado):
108\,000,\;236\,000,\;179\,000,\;206\,000,\;236\,000
Não começo a calcular ainda; só organizei o que é pedido e listei os dados.

Passo 2

Calculando a média (definição e aplicação).
  • Definição: a média aritmética de n observações x_1,\dots,x_n é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,
onde \sum_{i=1}^n x_i é a soma de todos os valores e n é o número de valores.
  • Aqui n=5. Primeiro somamos os valores (mostrando cada passo):
\sum x_i = 108000 + 236000 + 179000 + 206000 + 236000.
Calculemos em partes: 236000+236000=472000; 472000+206000=678000; 678000+179000=857000; 857000+108000=965000.
Então
\sum x_i = 965000.
  • Agora a média:
\bar{x}=\frac{965000}{5}=193000.
Portanto a média é \bar{x}=193000 dólares.

Passo 3

Calculando a mediana (definição, ordenação e escolha).
  • Definição: a mediana é o valor central quando os dados são ordenados. Para n ímpar, é o \frac{n+1}{2}-ésimo valor na ordem crescente.
  • Ordene os dados em ordem crescente (peguei os valores do enunciado):
108000,\;179000,\;206000,\;236000,\;236000.
  • Como n=5, a mediana é o (5+1)/2 = 3-ésimo valor da lista ordenada, que é 206000.
    Portanto a mediana é 206000 dólares.

Passo 4

Calculando a moda (definição e contagem).
  • Definição: a moda é o(es) valor(es) que aparece(m) com maior frequência na amostra.
  • Contando ocorrências (peguei os valores do enunciado): 108000 aparece 1 vez, 179000 1 vez, 206000 1 vez, 236000 2 vezes.
  • O maior número de repetições é 2, correspondente a 236000.
    Portanto a moda é 236000 dólares (amostra unimodal).

Passo 5

Calculando o ponto médio (midrange) (definição e cálculo).
  • Definição: o ponto médio ou midrange é a média entre o valor mínimo e o valor máximo:
\text{midrange} = \frac{\min x_i + \max x_i}{2}.
  • Do conjunto (peguei do enunciado), o mínimo é \min x_i = 108000 e o máximo é \max x_i = 236000.
  • Então
\text{midrange}=\frac{108000 + 236000}{2}=\frac{344000}{2}=172000.
Portanto o ponto médio é 172000 dólares.

Passo 6

Efeito de adicionar uma constante k a cada renda (explicação e provas algébricas).
  • Seja y_i = x_i + k para cada observação x_i.
  • Média:
\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i+k)=\frac{1}{n}\Big(\sum_{i=1}^n x_i + n k\Big)=\bar{x}+k.
Logo a média aumenta exatamente em k.
  • Mediana: ao somar k a todos os valores, a ordem relativa entre os números não muda, apenas todos os valores deslocam-se em k. Assim o valor central também é deslocado em k. Portanto a mediana se torna \text{mediana}+k.
  • Moda: todos os valores são somados por k; os padrões de repetição não mudam, então a moda é simplesmente a moda original somada de k.
  • Midrange:
\frac{\min y_i + \max y_i}{2}=\frac{(\min x_i + k) + (\max x_i + k)}{2}=\frac{\min x_i + \max x_i}{2}+k.
Portanto o midrange também aumenta em k.
  • Resumo: adicionar k soma k a média, à mediana, à moda e ao midrange.

Passo 7

Efeito de multiplicar por uma constante k (explicação e provas algébricas; nota sobre sinais).
  • Seja y_i = k x_i.
  • Média:
\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (k x_i)=k\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i = k \bar{x}.
Logo a média é multiplicada por k.
  • Mediana: multiplicar todos os valores por k multiplica o valor central por k. Se k>0, a ordem é preservada e a mediana vira k vezes a mediana original. Se k<0, a ordem é invertida, mas o elemento central da ordem invertida ainda é o elemento central original multiplicado por k. Portanto, em todos os casos (qualquer k), a mediana é multiplicada por k.
  • Moda: como a multiplicação é uma transformação uno-a-um (salvo problemas com k=0), as repetições aparecem nos mesmos lugares escalados; assim a moda é multiplicada por k (para k=0 todas as observações viram 0 e a moda será 0).
  • Midrange:
\frac{\min y_i + \max y_i}{2}=\frac{k\min x_i + k\max x_i}{2}=k\cdot\frac{\min x_i + \max x_i}{2}=k\cdot\text{midrange}.
  • Resumo: multiplicar por k multiplica a média, mediana, moda e midrange por k (com as observações sobre k=0 ou k<0 mencionadas acima).

Passo 8

Questão (d): comparar a média dos \log x com \log \bar{x} (prática, desigualdade e conclusão).
  • Definições:
    • A média dos \log x é \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \log x_i.
    • \log \bar{x} é o logaritmo da média aritmética \bar{x}.
  • Fato importante (AM–GM ou propriedade do log): a função \log é côncava, e uma consequência prática é que a média dos logs é sempre menor ou igual ao log da média. Uma maneira simples de ver isso é notar que
\exp\!\Big(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \log x_i\Big)
é a média geométrica dos x_i, e a desigualdade entre média geométrica e média aritmética diz que a média geométrica é menor ou igual que a média aritmética:
\exp\!\Big(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \log x_i\Big)\le \bar{x}.
Tomando logaritmo em ambos os lados obtemos
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \log x_i \le \log \bar{x},
com igualdade somente quando todos os x_i são iguais.
  • No nosso caso os valores não são todos iguais (há variação), então a desigualdade é estrita:
\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5 \log x_i < \log\bar{x}.
  • Conclusão: para os dados dados, a média dos \log x não é igual a \log\bar{x}; a média dos logs é menor que o log da média.

Resposta

(a) Média =193000 dólares.
Mediana =206000 dólares.
Moda =236000 dólares.
Ponto médio (midrange) =172000 dólares.
(b) Se somar uma constante k a cada renda: média, mediana, moda e midrange aumentam todos em k (viram \bar{x}+k, mediana +k, moda +k, midrange +k).
Se multiplicar cada renda por uma constante k: média, mediana, moda e midrange são multiplicadas por k (viram k\bar{x}, k\cdot\text{mediana}, k\cdot\text{moda}, k\cdot\text{midrange}; caso k=0 todas as observações viram 0).
(d) Não — a média dos \log x não é igual a \log\bar{x}; de fato \displaystyle\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5\log x_i < \log\bar{x} (igualdade ocorreria apenas se todos os x_i fossem iguais).

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