a. Calcule a média, a mediana, a moda e o ponto médio das seguintes rendas anuais (em dólares) de médicos autônomos (com base em dados da American Medical Association):
b. Se se adiciona um valor constante
a cada renda, como são afetados os resultados da parte (a)?
Se os valores das rendas na parte (a) são multiplicados por uma constante
, como são afetados os resultados da parte (a)?
d. As vezes os dados săo transformados, substituindo-se cada valor
por
. Para os valores dados de
, determine se a média dos valores de
é igual a
.
b. Se se adiciona um valor constante
Se os valores das rendas na parte (a) são multiplicados por uma constante
d. As vezes os dados săo transformados, substituindo-se cada valor
Passo 1
O enunciado pede várias estatísticas calculadas sobre as rendas anuais (em dólares) dos médicos autônomos e depois investiga como essas estatísticas mudam sob transformações. Os pedidos são:
- (a) Calcular a média, a mediana, a moda e o ponto médio (midrange) do conjunto de dados
- (b) Determinar o efeito de adicionar uma constante
a cada renda - (c) (implícito) Determinar o efeito de multiplicar cada renda por uma constante
- (d) Verificar se a média dos
é igual a para os dados dados
Dados fornecidos (peguei-os do enunciado):
Não começo a calcular ainda; só organizei o que é pedido e listei os dados.
Passo 2
Calculando a média (definição e aplicação).
- Definição: a média aritmética de
observações é
onde
é a soma de todos os valores e
é o número de valores.
- Aqui
. Primeiro somamos os valores (mostrando cada passo):
Calculemos em partes:
;
;
;
.
Então
Então
- Agora a média:
Portanto a média é
dólares.
Passo 3
Calculando a mediana (definição, ordenação e escolha).
- Definição: a mediana é o valor central quando os dados são ordenados. Para
ímpar, é o -ésimo valor na ordem crescente. - Ordene os dados em ordem crescente (peguei os valores do enunciado):
- Como
, a mediana é o -ésimo valor da lista ordenada, que é .
Portanto a mediana édólares.
Passo 4
Calculando a moda (definição e contagem).
- Definição: a moda é o(es) valor(es) que aparece(m) com maior frequência na amostra.
- Contando ocorrências (peguei os valores do enunciado):
aparece 1 vez, 1 vez, 1 vez, 2 vezes. - O maior número de repetições é 2, correspondente a
.
Portanto a moda édólares (amostra unimodal).
Passo 5
Calculando o ponto médio (midrange) (definição e cálculo).
- Definição: o ponto médio ou midrange é a média entre o valor mínimo e o valor máximo:
- Do conjunto (peguei do enunciado), o mínimo é
e o máximo é . - Então
Portanto o ponto médio é
dólares.
Passo 6
Efeito de adicionar uma constante
a cada renda (explicação e provas algébricas).
- Seja
para cada observação . - Média:
Logo a média aumenta exatamente em
.
- Mediana: ao somar
a todos os valores, a ordem relativa entre os números não muda, apenas todos os valores deslocam-se em . Assim o valor central também é deslocado em . Portanto a mediana se torna . - Moda: todos os valores são somados por
; os padrões de repetição não mudam, então a moda é simplesmente a moda original somada de . - Midrange:
Portanto o midrange também aumenta em
.
- Resumo: adicionar
soma a média, à mediana, à moda e ao midrange.
Passo 7
Efeito de multiplicar por uma constante
(explicação e provas algébricas; nota sobre sinais).
- Seja
. - Média:
Logo a média é multiplicada por
.
- Mediana: multiplicar todos os valores por
multiplica o valor central por . Se , a ordem é preservada e a mediana vira vezes a mediana original. Se , a ordem é invertida, mas o elemento central da ordem invertida ainda é o elemento central original multiplicado por . Portanto, em todos os casos (qualquer ), a mediana é multiplicada por . - Moda: como a multiplicação é uma transformação uno-a-um (salvo problemas com
), as repetições aparecem nos mesmos lugares escalados; assim a moda é multiplicada por (para todas as observações viram 0 e a moda será 0). - Midrange:
- Resumo: multiplicar por
multiplica a média, mediana, moda e midrange por (com as observações sobre ou mencionadas acima).
Passo 8
Questão (d): comparar a média dos
com
(prática, desigualdade e conclusão).
- Definições:
- A média dos
é . -
é o logaritmo da média aritmética .
- A média dos
- Fato importante (AM–GM ou propriedade do log): a função
é côncava, e uma consequência prática é que a média dos logs é sempre menor ou igual ao log da média. Uma maneira simples de ver isso é notar que
é a média geométrica dos
, e a desigualdade entre média geométrica e média aritmética diz que a média geométrica é menor ou igual que a média aritmética:
Tomando logaritmo em ambos os lados obtemos
com igualdade somente quando todos os
são iguais.
- No nosso caso os valores não são todos iguais (há variação), então a desigualdade é estrita:
- Conclusão: para os dados dados, a média dos
não é igual a ; a média dos logs é menor que o log da média.
Resposta
(a) Média
dólares.
Mediana dólares.
Moda dólares.
Ponto médio (midrange) dólares.
Mediana
Moda
Ponto médio (midrange)
(b) Se somar uma constante
a cada renda: média, mediana, moda e midrange aumentam todos em
(viram
, mediana
, moda
, midrange
).
Se multiplicar cada renda por uma constante : média, mediana, moda e midrange são multiplicadas por
(viram
,
,
,
; caso
todas as observações viram 0).
Se multiplicar cada renda por uma constante
(d) Não — a média dos
não é igual a
; de fato
(igualdade ocorreria apenas se todos os
fossem iguais).