1-8 Estes exercícios dizem respeito a funções de duas variáveis.
Determine F(g(x), h(y)) se F(x, y)=x e^{x y}, g(x)=x^{3} e h(y)=3 y+1.

Passo 1

O enunciado pede para determinar F(g(x), h(y)) dadas as funções:
  • F(x,y)=x e^{x y},
  • g(x)=x^{3},
  • h(y)=3y+1.
A pergunta é: qual é a expressão de F(g(x),h(y)) em termos de x e y?

Passo 2

Entendendo o que significa F(g(x),h(y)): sempre que tivermos uma função de duas variáveis F(x,y) e a chamarmos com argumentos que são outras funções, devemos substituir o primeiro argumento x por g(x) e o segundo argumento y por h(y).
Aplicando isso de forma simbólica:
F(g(x),h(y)) = g(x)\,e^{\,g(x)\cdot h(y)}.
Aqui a notação significa: a função F avaliada na dupla (g(x),h(y)); o fator g(x) multiplica a exponencial cujo expoente é o produto g(x)\cdot h(y).

Passo 3

Agora substituímos g(x)=x^{3} e h(y)=3y+1 na expressão do passo anterior:
F(g(x),h(y)) = x^{3}\,e^{\,x^{3}\cdot(3y+1)}.

Passo 4

Podemos reescrever o expoente de forma expandida, se preferir:
x^{3}\,e^{\,x^{3}(3y+1)} = x^{3}\,e^{\,3x^{3}y + x^{3}}.
Dica rápida para a prova: compor funções multivariáveis é sempre só substituir cada argumento pela função correspondente; mantenha atenção aos parênteses para não esquecer multiplicações no expoente. Um cheque numérico rápido: para x=1 e y=0 obtém-se F(g(1),h(0))=1\cdot e^{1\cdot(0+1)}=e, o que confirma a forma.

Resposta

F(g(x),h(y))=x^{3}e^{x^{3}(3y+1)}

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