1-8 Estes exercícios dizem respeito a funções de duas variáveis.
Determine g(u(x, y), v(x, y)) se g(x, y)=y \operatorname{sen}\left(x^{2} y\right), u(x, y)=x^{2} y^{3} e v(x, y)=\pi x y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a composição g(u(x,y),v(x,y)). As informações dadas são:
  • g(x,y)=y\,\operatorname{sen}\!\big(x^{2}y\big). (Aqui \operatorname{sen} é a função seno; em notação usual usaremos \sin.)
  • u(x,y)=x^{2}y^{3}.
  • v(x,y)=\pi x y.
A pergunta é: escrever explicitamente g(u(x,y),v(x,y)) em termos de x e y.

Passo 2

Ideia do procedimento (substituição): quando se tem g(x,y) e quer g(u(x,y),v(x,y)), substitui-se a primeira variável x por u(x,y) e a segunda variável y por v(x,y) dentro da expressão de g. Em símbolos:
g(u(x,y),v(x,y)) = v(x,y)\,\sin\!\big( [u(x,y)]^{2}\,v(x,y)\big).
Aqui expliquei por que aparece [u(x,y)]^{2}: porque em g x^{2}y, então o x de g vira u(x,y), e esse u é elevado ao quadrado.

Passo 3

Calcule [u(x,y)]^{2}. Como u(x,y)=x^{2}y^{3}, aplicamos regras de potências e produto:
[u(x,y)]^{2} = (x^{2}y^{3})^{2}.
Usando (ab)^{2}=a^{2}b^{2} e (x^{2})^{2}=x^{4}, obtemos
[u(x,y)]^{2} = x^{4}y^{6}.

Passo 4

Calcule o produto [u(x,y)]^{2}\cdot v(x,y). Temos v(x,y)=\pi x y. Então
[u(x,y)]^{2}\,v(x,y) = (x^{4}y^{6})\cdot(\pi x y).
Multiplica-se coeficientes e soma-se expoentes das mesmas bases ( x^{4}\cdot x = x^{4+1}=x^{5}, y^{6}\cdot y = y^{6+1}=y^{7}):
[u(x,y)]^{2}\,v(x,y) = \pi x^{5} y^{7}.

Passo 5

Agora substituímos esse resultado na expressão de g(u,v). Lembrando que g(u,v)=v\sin([u]^{2}v) e que v(x,y)=\pi x y, obtemos
g(u(x,y),v(x,y)) = v(x,y)\,\sin\!\big(\,[u(x,y)]^{2}v(x,y)\big) = (\pi x y)\,\sin\!\big(\pi x^{5}y^{7}\big).

Passo 6

Escrevendo de forma limpa e finalizando a simplificação, a composição fica:
g(u(x,y),v(x,y)) = \pi x y \,\sin\!\big(\pi x^{5} y^{7}\big).
Força aí — a técnica é sempre a mesma: substituir, elevar potências com cuidado e somar expoentes ao multiplicar termos com a mesma base.

Resposta

\pi x y \sin\!\big(\pi x^{5} y^{7}\big)

Exercícios relacionados