1-8 Estes exercícios dizem respeito a funções de duas variáveis.
Seja g(x)=x \operatorname{sen} x. Determine
g(x-y).

Passo 1

O enunciado dá a função g de uma variável:
g(x)=x\sin x.
Pede para determinar g(x-y).
Informações relevantes:
  • A função original é g(x)=x\sin x.
  • A expressão pedida é g(x-y), ou seja, avaliar g na quantidade x-y.
    Não se resolve nada ainda aqui, apenas ficou claro o que é pedido e qual dado temos.

Passo 2

O que significa calcular g(x-y)?
Quando uma função é dada por uma fórmula em termos da variável (aqui x), para avaliar a função em qualquer expressão (aqui x-y) basta substituir a variável original pela expressão dada. Em termos gerais:
\text{se } h(t)=\text{(fórmula em }t\text{), então } h(\varphi)=\text{(a mesma fórmula, com }t\text{ substituído por }\varphi\text{).}óãóí
Aplicando isso em g(x)=x\sin x, para obter g(x-y) substitui-se cada ocorrência de x por x-y.

Passo 3

Fazendo a substituição direta obtemos a forma imediata:
g(x-y)=(x-y)\sin(x-y).
Essa já é uma resposta correta e compacta. Vou agora mostrar uma forma equivalente que costuma aparecer em provas quando querem desenvolver a expressão usando identidades trigonométricas.

Passo 4

Usamos a fórmula da diferença de senos:
\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b,
para a=x e b=y. Essa identidade vem da fórmula de adição de ângulos; não é preciso decorá-la de cabeça se lembrar da adição, mas é aceitável memorizá-la para exercícios rápidos.

Passo 5

Substituindo a identidade em (x-y)\sin(x-y) temos:
g(x-y)=(x-y)\bigl(\sin x\cos y-\cos x\sin y\bigr).

Passo 6

Se for conveniente, expandir o produto dá uma forma completamente desenvolvida:
g(x-y)=x\sin x\cos y - y\sin x\cos y - x\cos x\sin y + y\cos x\sin y.
Essas três formas são matematicamente equivalentes; escolha a que for mais útil na prova (geralmente a forma (x-y)\sin(x-y) é a mais simples).

Resposta

(x-y)\sin(x-y)

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