1-8 Estes exercícios dizem respeito a funções de duas variáveis.
Seja
. Determine
.
Seja
Passo 1
O enunciado dá a função
de uma variável:
Pede para determinar
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função original é
. - A expressão pedida é
, ou seja, avaliar na quantidade .
Não se resolve nada ainda aqui, apenas ficou claro o que é pedido e qual dado temos.
Passo 2
O que significa calcular
?
Quando uma função é dada por uma fórmula em termos da variável (aqui ), para avaliar a função em qualquer expressão (aqui
) basta substituir a variável original pela expressão dada. Em termos gerais:
Quando uma função é dada por uma fórmula em termos da variável (aqui
Aplicando isso em
, para obter
substitui-se cada ocorrência de
por
.
Passo 3
Fazendo a substituição direta obtemos a forma imediata:
Essa já é uma resposta correta e compacta. Vou agora mostrar uma forma equivalente que costuma aparecer em provas quando querem desenvolver a expressão usando identidades trigonométricas.
Passo 4
Usamos a fórmula da diferença de senos:
para
e
. Essa identidade vem da fórmula de adição de ângulos; não é preciso decorá-la de cabeça se lembrar da adição, mas é aceitável memorizá-la para exercícios rápidos.
Passo 5
Substituindo a identidade em
temos:
Passo 6
Se for conveniente, expandir o produto dá uma forma completamente desenvolvida:
Essas três formas são matematicamente equivalentes; escolha a que for mais útil na prova (geralmente a forma
é a mais simples).