Nos exercícios 1-8, encontre equações para:
(b) A reta normal no ponto P0 na superfície dada.
x^2+y^2+z^2=3, P0(1,1,1)

Passo 1

O enunciado pede a reta normal à superfície x^2+y^2+z^2=3 no ponto P0(1,1,1). O conteúdo é cálculo de gradiente e equação de reta no espaço. Vamos precisar definir F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-3, calcular seu gradiente em P0 e usar esse vetor como direção da reta normal.

Passo 2

Definimos F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-3. O vetor normal à superfície em um ponto é dado por nabla F(x,y,z). Calculando o gradiente: nabla F(x,y,z)=(2x,2y,2z).

Passo 3

Avaliando esse gradiente em P0(1,1,1) temos nabla F(1,1,1)=(2,2,2), que será o vetor diretor da reta normal.

Passo 4

A equação paramétrica da reta que passa por P0(1,1,1) com direção (2,2,2) é:
x=1+2t, y=1+2t, z=1+2t

Passo 5

Podemos também escrever a forma simétrica eliminando t:
x-12=y-12=z-12

Resposta

Equações da reta normal em formas paramétrica e simétrica:
Paramétrica:
x=1+2t, y=1+2t, z=1+2t
Simétrica:
x-12=y-12=z-12

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