Aplicando o teorema de Green calcular a seguinte integral de linha
ointi(x+y)^2 d x+(x^2+y^2) d y
sendo lambda os lados do triângulo de vértices A=(0,0), B=(0,1), C=(1,0), decorridos no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. A gente precisa calcular a integral de linha ao longo dos lados desse triângulo com vértices em $ A=(0,0) $, $ B=(0,1) $ e $ C=(1,0) $, percorridos no sentido anti-horário. Para isso, vamos transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a área do triângulo. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green e conhecer um pouco de cálculo de integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada $ C $ com uma integral dupla sobre a região $ D $ delimitada por $ C $. A fórmula é:
C
Aqui, $ P = (x + y)^2 $ e $ Q = x^2 + y^2 $. Nosso objetivo é usar essa relação para transformar a integral de linha em uma integral dupla.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula do Teorema de Green:
partial Qpartial x = partial (x^2 + y^2)partial x = 2x
partial Ppartial y = partial (x + y)^2partial y = 2(x + y)
Substituindo na expressão do Teorema de Green, temos:
integral duplaD ( 2x - 2(x + y) ) dA = integral duplaD (2x - 2x - 2y) dA = integral duplaD (-2y) dA

Passo 4

Então, a integral original se transforma em:
ointi (x + y)^2 dx + (x^2 + y^2) dy = integral duplaD (-2y) dA
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região $ D $, que é o triângulo com vértices em $ (0,0) $, $ (0,1) $ e $ (1,0) $.

Passo 5

Vamos definir os limites de integração para a região triangular. Observando o triângulo, podemos expressar $ x $ variando de 0 a 1. Para cada valor de $ x $, $ y $ varia de 0 até a linha que liga $ (0,1) $ a $ (1,0) $, que é dada pela equação $ y = 1 - x $. Portanto, os limites são:
x
x

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral dupla:
integral duplaD (-2y) dA = integral0^1 integral0^1 - x (-2y) , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a $ y $:
y
Agora, integramos em relação a $ x $:
integral0^1 - x (-2y) , dy = -2 [ y^22 ]0^1 - x = -2 ( (1 - x)^22 - 0 ) = -(1 - x)^2
x

Resposta

A integral de linha vale $ -\frac{1}{3} $.

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