Aplicando o teorema de Green calcular a seguinte integral de linha
sendo
os lados do triângulo de vértices
, decorridos no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. A gente precisa calcular a integral de linha ao longo dos lados desse triângulo com vértices em $ A=(0,0) $, $ B=(0,1) $ e $ C=(1,0) $, percorridos no sentido anti-horário. Para isso, vamos transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a área do triângulo. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green e conhecer um pouco de cálculo de integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada $ C $ com uma integral dupla sobre a região $ D $ delimitada por $ C $. A fórmula é:
Aqui, $ P = (x + y)^2 $ e $ Q = x^2 + y^2 $. Nosso objetivo é usar essa relação para transformar a integral de linha em uma integral dupla.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula do Teorema de Green:
Substituindo na expressão do Teorema de Green, temos:
Passo 4
Então, a integral original se transforma em:
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região $ D $, que é o triângulo com vértices em $ (0,0) $, $ (0,1) $ e $ (1,0) $.
Passo 5
Vamos definir os limites de integração para a região triangular. Observando o triângulo, podemos expressar $ x $ variando de 0 a 1. Para cada valor de $ x $, $ y $ varia de 0 até a linha que liga $ (0,1) $ a $ (1,0) $, que é dada pela equação $ y = 1 - x $. Portanto, os limites são:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a $ y $:
Agora, integramos em relação a $ x $:
Resposta
A integral de linha vale $ -\frac{1}{3} $.